Teorema della palla pelosa

Il teorema della palla pelosa è un concetto della topologia algebrica secondo il quale non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente a una sfera.

Espresso in termini euristici esso afferma, sostanzialmente, che «non è possibile pettinare completamente una palla pelosa» oppure «non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo», i capelli pettinati rappresentando il campo vettoriale continuo: non è possibile, quindi, eseguire su una sfera una pettinatura che non abbia almeno una chierica o una riga.

La sua enunciazione formale è la seguente: data una sfera $S$ e una funzione continua $f:S\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ che associa a ogni punto $P$ della sfera un vettore tridimensionale tangente alla sfera stessa in $P$ , esiste almeno un punto della sfera $Q\in S$ tale che $f(Q)=0$ .

Il teorema, dimostrato nel 1912 da Luitzen Brouwer, può essere visto come un caso particolare del Teorema di Poincaré-Hopf, che asserisce che la somma degli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie è pari alla caratteristica di Eulero di tale superficie: poiché la caratteristica di Eulero della sfera è 2, il campo deve possedere almeno uno zero; una superficie a caratteristica zero, come il toro, è invece «pettinabile». In questo contesto più ampio il teorema della palla pelosa costituisce un esempio di legame tra le proprietà topologiche di una superficie (la caratteristica di Eulero) e quelle analitiche (i campi vettoriali su di essa). Esistono tuttavia numerose altre dimostrazioni, ad esempio a partire dal lemma di Sperner^[1]^[2].

Applicazioni

Il teorema della palla pelosa ha applicazioni non solo in ambito matematico, ma anche in alcuni campi della fisica e della tecnologia.

Punti fissi e antipodali

Una conseguenza del teorema della palla pelosa è che qualunque funzione continua che mappa la sfera in sé stessa ha necessariamente un punto che viene mappato su sé stesso (punto fisso) o sul proprio punto antipodale:

\forall f:S\rightarrow S\quad \mathrm {continua} ,\,\exists P\in S:\,f(P)=\pm P

.

La dimostrazione di questa proprietà si ottiene associando alla funzione continua una funzione vettoriale tangente nel seguente modo: preso un punto $P$ sulla sfera, si costruisce la proiezione stereografica di $f(P)$ usando $P$ come polo della proiezione, e si prende come vettore tangente $\mathbf {v} (P)$ il vettore posizione della proiezione rispetto a $P$ .

I vettori tangenti così costruiti definiscono una funzione continua che rispetta le ipotesi del teorema: quindi esiste un punto $P$ della sfera tale che $\mathbf {v} (P)=0$ ; questo implica che $f(P)$ coincide con $P$ , oppure si trova al suo antipodo.

Meteorologia

La circolazione atmosferica di un pianeta può essere rappresentata con un modello che assegna a ogni punto della superficie un vettore tangente alla superficie stessa e avente la direzione del vento; questa approssimazione equivale a trascurare la componente verticale del vento, condizione accettabile dato che il diametro del pianeta è significativamente maggiore dello spessore dell'atmosfera.

Tranne il caso banale in cui il vento è fermo su tutto il pianeta, il campo vettoriale così definito rispetta le ipotesi del teorema della palla pelosa; segue che esiste almeno un punto della superficie in cui il vento ha velocità nulla: questi punti corrispondono all'occhio di un ciclone o di un anticiclone. Il teorema garantisce quindi che sulla superficie di un pianeta dotato di atmosfera esiste sempre almeno un ciclone.

Computer grafica

Un problema comune in computer grafica è la generazione di un vettore non nullo ortogonale ad un altro vettore dato. Se consideriamo il vettore di partenza come posizionato sul raggio di una sfera, i vettori ortogonali sono tangenti alla sfera stessa; dal teorema della palla pelosa segue che non esiste una funzione continua in grado di risolvere il problema per qualunque vettore di partenza, ossia per tutti i punti della sfera.

Estensioni del teorema

Il teorema può essere esteso a sfere in dimensioni superiori: si può dimostrare che esso è valido per tutte le $2n$ -sfere, in dimensione pari. Questa proprietà è facilmente derivabile tramite la caratteristica di Eulero: quest'ultima infatti si può ottenere come somma alternata dei numeri di Betti della $m$ -sfera, che valgono 0 tranne che per le dimensioni $0$ ed $m$ , per cui la caratteristica di Eulero vale 2 se $m$ è pari, perché i due termini non nulli hanno lo stesso segno, 0 se $m$ è dispari.

Note

^ Tyler Jarvis
^ John Milnor presenta una dimostrazione basata unicamente su considerazioni analitiche; vedi anche [1] per una presentazione e una discussione della dimostrazione.

Bibliografia

(EN) The Hairy Ball Theorem, su bbc.co.uk, BBC, 22 marzo 2006. URL consultato il 6 settembre 2008.
Tyler Jarvis, James Tanton, The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma (PDF), in American Mathematical Monthly, n. 111, 2004, pp. 599-603. URL consultato il 6 settembre 2008 (archiviato dall'url originale il 13 maggio 2008).
John Milnor, Analytic proofs of the “hairy ball theorem” and the Brouwer fixed point theorem, in American Mathematical Monthly, n. 85, 1978, pp. 521-524.

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[1] Tyler Jarvis

[2] John Milnor presenta una dimostrazione basata unicamente su considerazioni analitiche; vedi anche [1] per una presentazione e una discussione della dimostrazione.

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