Teorema di Heine-Borel

In matematica, in particolare nella topologia degli spazi metrici, il teorema di Heine–Borel è un teorema che caratterizza gli spazi compatti in $\mathbb {R} ^{n}$ . Prende il nome dai matematici Eduard Heine e Émile Borel.

Il teorema

Il teorema di Heine-Borel afferma che se $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , allora $E$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Alla luce di questo teorema, in analisi reale la seconda proprietà (chiusura e limitatezza) viene a volte utilizzata come definizione di compattezza. L'equivalenza tuttavia cessa di esser vera su sottospazi di spazi metrici (e topologici) più generali; in un qualunque spazio metrico, comunque, la compattezza rimane condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un insieme sia chiuso e limitato.

Dimostrazione con il teorema di Bolzano-Weierstrass

Si dimostra il teorema in $\mathbb {R} ^{2}$ , è poi possibile estendere la dimostrazione in $\mathbb {R} ^{n}$ .

Si consideri un insieme $A$ limitato, cioè contenuto in una palla $B(x_{0},r)$ a sua volta contenuta in una palla più grande $C(0,R)$ . Si consideri una successione in $A$ , che essendo in $\mathbb {R} ^{2}$ avrà due coordinate:

X_{k}=(X_{k1},X_{k2}),\quad \forall k\in \mathbb {N}

e tale che:

\forall y\in B,d(y,X_{0})<r,\qquad d(y,0)\leq d(y,x_{0})+d(x_{0},0)<R.

Si ha:

|X_{k1}|\leq d(X_{k},0)\leq R,\qquad |X_{k2}|\leq d(X_{k},0)\leq R.

Essendo quindi $X_{k1}$ limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sottosuccessione che converga:

X_{kh_{1}}\rightarrow X_{0_{1}}

Estraendo una sottosuccessione $X_{kh_{2}}$ di $X_{k2}$ convergente, non è detto che converga per stessi indici di $X_{kh_{1}}$ . Si estraggono allora altre due sottosuccessioni convergenti (lo sono tutte) con gli stessi indici:

X_{khj_{1}}\rightarrow X_{0_{1}},\qquad X_{khj_{2}}\rightarrow X_{0_{2}}.

Si ha quindi:

X_{k}=(X_{khj_{1}},X_{khj_{2}})\rightarrow (X_{0_{1}},X_{0_{2}})=X_{0}.

Per dimostrare che $X_{0}\in A$ , si considera una successione $X_{k}$ appartenente ad $A$ .

Per assurdo si ponga che $X_{0}\notin A$ e $A^{C}$ . Se $A$ è chiuso, $A^{C}$ è aperto, quindi esiste una palla $B(X_{0},D)$ contenuta in $A^{C}$ . Esiste pertanto un $k'$ tale che per $k>k'$ $X_{k}$ appartiene a $B,$ il che è assurdo, perché $X_{k}$ non può appartenere sia a $B$ che ad $A$ .

Corollari

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in $\mathbb {R} ^{n}$ .

Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio $f(x)=||x||-1$ ), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di $\mathbb {R} ^{n}$ , essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta.

Da ciò segue che $\mathbb {R} ^{n}$ , non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.

Dimostrazione topologica

Sia $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un compatto. Si consideri il ricoprimento di palle aperte:

{\mathcal {R}}=\{B_{n}(0):n\in \mathbb {N} \}.

Esso deve ammettere un sottoricoprimento finito ${\mathcal {F}}$ , dunque $K$ è contenuto nella palla di raggio massimo appartenente a ${\mathcal {F}}$ . Da ciò segue che $K$ è limitato. Inoltre i compatti in uno spazio di Hausdorff sono chiusi, dunque $K$ è anche chiuso.

Viceversa, supponiamo che $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ sia chiuso e limitato. Allora $K\subseteq {\overline {B_{r}(0)}}$ . Ma la n-palla è omeomorfa all'n-cubo:

K\subseteq {\overline {B_{r}(0)}}\simeq [0,1]^{n}.

Si può provare facilmente che $[0,1]$ è compatto anche senza il teorema di Heine-Borel, dunque l'n-cubo è compatto, perché prodotto di compatti (teorema di Tychonoff).

Si ha quindi che anche ${\overline {B_{r}(0)}}$ è compatta e quindi $K$ è un sottospazio chiuso di uno spazio compatto (si noti che essendo ${\overline {B_{r}(0)}}$ chiuso, $K$ è chiuso non solo in $\mathbb {R} ^{n}$ , ma anche nella topologia indotta sulla palla), dunque $K$ è compatto.

Estensioni

Spazi metrici

Il teorema può essere esteso agli spazi metrici nelle seguenti forme.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.^[1]

Un sottospazio di uno spazio metrico completo è compatto se e solo se è chiuso e totalmente limitato. Dim: è sufficiente provare che un sottospazio di uno spazio metrico completo è a sua volta completo se e solo se è chiuso.

Spazi vettoriali reali e complessi

Il teorema si applica anche agli spazi vettoriali sul campo reale o complesso di dimensione finita. Cessa di esser valido in spazi di dimensione infinita. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio vettoriale (reale o complesso) è di dimensione finita.

Note

^ Uno spazio metrico si definisce completo se ogni sua successione di Cauchy converge in esso (ossia, se la condizione di Cauchy per le serie è condizione sufficiente, oltreché necessaria, per la convergenza). Si dice totalmente limitato se per ogni ε>0 esiste un ricoprimento finito composto da palle di raggio ε.

Collegamenti esterni

Heine-Pincherle-Borel, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Heine-Borel theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Heine-Borel, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Teorema di Heine-Borel, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Uno spazio metrico si definisce completo se ogni sua successione di Cauchy converge in esso (ossia, se la condizione di Cauchy per le serie è condizione sufficiente, oltreché necessaria, per la convergenza). Si dice totalmente limitato se per ogni ε>0 esiste un ricoprimento finito composto da palle di raggio ε.

[1]