なぜ (-1) × (-1) ＝ 1 か

整数の構成から話をすれば、

1. 順序対 および に対して、 であるような同値関係 を定める。 （ここで、(a,b)は実質上の a-b）
2. 同値類の集合 の上で、乗算を と定める。 （上の加算、乗算は既に与えられているものとする）

としておけば、-1は(0,1)で表せるので

となってシステマティックに求まる。

でも、その乗算の定義はどっからでてきたの、と言われれば非常に恣意的なもの（多分）。
「求め方」は、(a,b) を a-b とみて

と考えれば、自ずと (ac+bd, ad+bc) に還元すればいいのだな、とわかる。でも、とどのつまりは「結果ありき」の定義だし。特に計算中 (-b)*(-d)=bd としてしまっている以上、この説明をアタマに持ってくると「循環定義」になってしまう*1。

…「子供に聞かれたらなんて答えたらいいかな」などという疑問からぼんやり考えてたんだけど*2、この説明はちょっと使えなさそう。

*1:というよりまぁ、除算持ち出してる時点で既に…でもあるんだけど。

*2:勿論、そのまま説明するつもりはないです。どんな考え方を念頭に置けば良いかな、という事を考えていたのです。