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2018年01月18日

【数学ⅠA】センター試験（2018年）を解いてみた（7年連続）

　【2018年センター試験シリーズ】
　【世界史B】センター試験（2018年）オリジナル解説
　【日本史B】センター試験（2018年）オリジナル解説
　【化学】センター試験（2018年）オリジナル解説
　【数学ⅠA】センター試験（2018年）を解いてみた（7年連続）
　【数学ⅡB】センター試験（2018年）を解いてみた（7年連続）

　《過去の戦歴》
　センター試験数学ⅠA（2012年度分）を約12年ぶりに解いてみた（旧ブログ）
　【数学ⅠA】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
　【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
　【数学ⅠA】センター試験（2015年）を解いてみた（4年連続）
　【数学ⅠA】センター試験（2016年）を解いてみた（5年連続）
　【数学ⅠA】センター試験（2017年）を解いてみた（6年連続）

　問題、解答は「センター試験2018｜解答速報2018｜予備校の東進」を参照。日本史、世界史、化学は参考書を使いながら解説を書いたが、数学だけは例年と同様自力で解いた。今年から統計が選択問題から必須問題になった。私の受験生時代（18年前）には学習の範囲外だったため、統計の問題だけは今回もパスした（ビジネスで統計を使う場面もあるのだから、いい加減勉強して解けるようになれよと言われそうだが・・・）。代わりに、選択問題になっている第3問～第5問を全て解いたので、それで勘弁していただきたい。一応、自力で解いた問題は全て正解した。おじさんだって頑張ればできるのだ。以下に私の解答を示すが、一部邪道な解き方をしている箇所がある。ちゃんとした解説は予備校のHPでご確認ください。

　【第1問】式と計算、集合、二次関数（難易度：★☆☆）←難易度は私の主観。
　〔1〕は式を入れ替えてx（5－x）が出現するように工夫する。〔2〕は、集合A、B、Cの要素を丁寧に拾い上げていけば解ける。必要条件、十分条件の問題はここ数年の定番問題となっている。〔3〕は、y＝f（x）の軸のx座標p＝1＋3/a＞1であるため、0≦x≦4において関数f（x）の最小値がf（0）となるケースは考えなくてよい。

　【第2問】三角比（難易度：★★☆）
　〔1〕台形ABCDは、辺ADと辺BCが平行か、辺ABと辺CDが平行のどちらかである。まずは辺ADと辺BCが平行であると仮定してみた。この時、AB・sin∠ABCは台形の高さを表すが、台形の高さが辺CDよりも長くなってしまうため、仮定が誤りであると判明する。〔2〕の統計の問題は省略。来年までには解けるようになろう。

　【第3問】確率（難易度：★★☆）
　条件付き確率も定番の問題である。（4）の「（2回の施行で）三つの事象A、B、Cがいずれもちょうど1回ずつ起こる確率」は最初意味が解らなかったが、その前段で「1回目に事象A∧Bが起こり、2回目に事象Aの否定∧Cが起こる確率」を求めている部分がヒントになった。2回の施行でA、B、Cがいずれも1回ずつ起こるためには、（1回目, 2回目）＝（A∧B, Cのみ）、（Cのみ, A∧B）、（A∧C, Bのみ）、（Bのみ, A∧C）であればよい（BとCは同時には起きない）。

　【第4問】整数（難易度：★★☆）
　個人的に整数の問題は苦手である。（2）、（3）は適当に整数をあてはめるという強引な解き方をしているので、正しい解説は予備校のHPをご参照いただきたい。

　【第5問】三角比（難易度：★★☆）
　方べきの定理、メネラウスの定理もセンター試験では頻出。チェバの定理も合わせて押さえておきたい。角の二等分線の定理を活用するのもポイントである。

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カテゴリ：センター試験・検定試験など , 数学

2017年01月17日

【数学ⅠA】センター試験（2017年）を解いてみた（6年連続）

　《過去の戦歴》
　センター試験数学ⅠA（2012年度分）を約12年ぶりに解いてみた（旧ブログ）
　【数学ⅠA】2013年センター試験を昨年に続いて解いてみた
　【数学ⅠA】2014年センター試験を3年連続で解いてみた
　【数学ⅠA】センター試験（2015年）を解いてみた（4年連続）
　【数学ⅠA】センター試験（2016年）を解いてみた（5年連続）

　＜予備校による解説＞
　東進ハイスクール　センター試験2017年　数学ⅠA

　30歳を過ぎてからなぜか毎年この時期にセンター試験の数学の問題を解くようになり、今年で6年目である。今年の数学ⅠAは1問間違えて、1問はどうしても解けなかった（悔しい）。整数の問題は相変わらず苦手である。下記の画像でもお解りのように、力技でかなり強引に解いた。以下の難易度は、あくまでも私の主観である。

　【第1問】《難易度：★★☆》式の計算／命題と条件／2次関数
　〔1〕は単純な式の計算。〔2〕の「命題と条件」で1問間違えてしまった。（pまたはqの否定）（x＝1またはx²≠1）⇒q（x²＝1）は偽である（反例：x＝1）。また、q（x²＝1）⇒（pまたはqの否定）（x＝1またはx²≠1）も偽である（反例：x＝－1）。よって、（pまたはqの否定）はqであるための「必要条件でも十分条件でもない」が正解。〔3〕の「2次関数」も単純な計算問題。最後に頂点のy座標の最小値を求めるところで、下図ではいきなりt＝0のとき最小値となると書いてしまったが、正確には、t＝a²よりt≧0であるから、t＝0のとき最小値となる、と書くのが正しい。

　【第2問】《難易度：★☆☆》三角比／データと分析
　〔1〕は正弦定理、余弦定理、三角比を用いた三角形の面積の求め方を知っていれば解ける。△ABCの外接円の半径を求めるところで、下図では正弦定理を用いてAC/sin∠ABC＝2Rと書いているが、右辺は「直径の2倍」だと勘違いしたまま、さらに求めるのも外接円の「直径」だと勘違いしたまま解いていた（汗）。結果的に正解だったからよかったが・・・。〔2〕の「データ分析」は、私が高校生の時には学習範囲外だったため省略。ただ、基本的な統計の問題であり、中小企業診断士の試験にも出てくるような問題であるから、来年は解けるようになりたい。

　【第3問】《難易度：★★☆》確率
　和事象を尋ねる問題が目新しいと感じた。B、Cの少なくとも一方があたりくじを引く場合は、「Bのみがあたりを引く（P）」、「Cのみがあたりを引く（Q）」、「AとBがあたりを引く（R）」、「BとCがあたりを引く（S）」、「CとAがあたりを引く（T）」の5つの場合である。

　⓪Aがはずれのくじを引く事象⇒BまたはCがあたりを引く事象
　①Aだけがはずれのくじを引く事象⇒BとCがあたりを引く事象
　②Bがはずれのくじを引く事象⇒CまたはAがあたりを引く事象
　③Bだけがはずれのくじを引く事象⇒CとAがあたりを引く事象
　④Cがはずれのくじを引く事象⇒AまたはBがあたりを引く事象
　⑤Cだけがはずれのくじを引く事象⇒AとBがあたりを引く事象

　P、Q、Sを合わせたものが①に該当する。Rは⑤に、Tは③に該当する。よって、事象E₂は①③⑤の和事象である。くじ引きの対象性より、B、Cの少なくとも一方があたりのくじを引く確率、C、Aの少なくとも一方があたりのくじを引く確率、A、Bの少なくとも一方があたりのくじを引く確率は等しい。これに気づけば、（5）は3つの条件つき確率を計算しなくても回答できる。

　【第4問】《難易度：★★★》実数
　（2）は力技で説いた。7b5cが4でも9でも割り切れる時、7b5cは36の倍数である。7b5c＝7000＋100b＋50＋c＝36（195＋2b）＋（28b＋c＋30）と変形し、（28b＋c＋30）が36の倍数となるようなb、cの組み合わせを、実際にb、cをそれぞれ0～9まで変化させて発見した。ただし、cに関して言えば、7b5cが36の倍数であることから、cは0、2、4、6、8のいずれかでしかないので、多少は絞り込める。本当の解き方は次の通りである。まず、7b5cが4で割り切れることから、5cが4の倍数であるため、cは2または6に限定される。次に、7b5cが9で割り切れることから、各位の数の和は9の倍数であり、7＋b＋5＋c＝12＋b＋cは9の倍数である。0≦b＋c≦18より、12≦12＋b＋c≦30であり、b＋c≦18となる。c＝2の時、b＝4、c＝6の時、b＝0、9となる。

　1188の全ての正の約数の積を2進数で表す時、2＝10_（2）であるから、2の倍数を1つかけるたびに0が1つ増えることが解る。4＝100_（2）より、4の倍数を1つかけると0が2つ増えることに注意すると、求める0の数は、2の倍数の数と4の倍数の和である。

　【第5問】《難易度：★★☆》平面図形／三角比
　私の作図がそもそも間違っていた（大汗）。△ABDの内接円と書かれているのに、BとDしか通っていない。BC・CEは直感的にAC・ADに等しいだろうと思って計算した。正確に作図すれば、方べきの定理を用いることになる。私の作図ではAF＞BFとなるが、メネラウスの定理を使ってBF/AFを計算したところ12/7となった。これはBF＞AFを意味しており、図が矛盾してここで詰んだ。正確に作図していればちゃんとBF＞AFとなるため、BF/AF＝12/7よりAFが計算できる。

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タグ：: #数学ⅠA; #センター試験; #2次関数; #三角比; #確率

カテゴリ：センター試験・検定試験など , 数学

2016年01月19日

【数学ⅠA】センター試験（2016年）を解いてみた（5年連続）

　自分でもどういうわけかよく解らないのだが、2012年から毎年センター試験の数学だけを解くようになって早5年になった（過去のセンター試験については、カテゴリ「数学」を参照）。以下、今年の私の答案。あくまでも趣味的作業につき、内容の正確性は期待しないでください・・・（言い訳）。私よりもはるかにきれいに解説をまとめている方がいらっしゃるので、ご参考までに（「2016年センター試験数学Ⅰ・数学Aの解説ページを作成しました｜今日も8時間睡眠」）。私もいつまでも手書きで済ますのではなく、この方のようにPCで解答を作成できるようになりたい。

　《問題・解答（東進ハイスクールHPにジャンプします）》
　2016年センター試験　数学ⅠA　問題｜解答

　以下、主観的難易度（★☆☆：易～★★★：難）とコメント。
　【第1問（★☆☆）】関数、集合、二次不等式
　易しいと評価しておきながら1問間違えているのだが（大汗）。〔1〕は2次関数ではなく1次関数の最大値、最小値の問題であるから、例年に比べると平易。〔2〕（2）はx＝0の時に√28xが0になることを見落としていた。「同じものを繰り返し選んでもよい」という設問文のただし書きがついている場合、ただし書き通りに同じものを選択するとたいてい間違えるというのが私の印象。

　【第2問（★★☆）】三角関数、統計
　〔1〕図形問題は昔から苦手だ。（2）で△PABの面積が最大となる場合を見つけるのに、三角関数に持ち込むのかと随分悩んでしまった。図をよく見れば何でもない問題だった。〔2〕統計は私が高校生の時には学習対象外で範囲に入っておらず、最近の学習内容であるため省略した。本当はこの程度なら解けるぐらいの統計的知識は身につけておく必要があるのだが。

　【第3問（★☆☆）】確率
　条件つき確率の定義をしっかり押さえていれば全く怖くない問題である。

　【第4問（★★★）】整数
　（1）答えは合っていたが、多分私の解き方ではダメだと思う（苦笑）。式を変形して、分数部分が整数になるyの値を順番に力技で計算している。ただ、この方法だと、分数部分が整数になる時のyの値に対応するxの絶対値が最小かどうかは検証できない。冒頭で紹介した「今日も8時間睡眠」さんのような解き方をする必要があるだろう。

　（2）n進法で表された小数の問題。例えば、整数abcde(6)を10進法に直すと、a×6⁴＋b×6³＋c×6²＋d×6¹＋e×6⁰である。小数の場合も、小数点以下の桁が増えるにしたがって、6の指数を1ずつ減らしていけばよい。例えば、0.fgh(6)を10進法に直すと、f×6^-1＋g×6^-2＋h×6^-3となる。

　【第5問（★★★）】平面図形
　図形問題が苦手なので、主観的難易度が上がっている。チェバの定理、メネラウスの定理、方べきの定理をうまく使うのがポイント。（2）四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合を求める際、正弦定理などを使ってR（外接円の直径）の関数を作ることばかりを考えていたが、全くアイデアが出ず行き詰ってしまった。外接円の直径は、四角形の最大の辺よりも短くなることはない、という図形的性質に気づくまで随分と時間がかかった。こういう発想がどうも私は鈍い。