円錐の体積公式は円柱の微小体積の積み重ねなので、パイを含みますよね。                        円柱の「円」を「正n角形 (lim n→∞)」で近似して、その円柱モドキの微小体積で積分したら、円錐の体積公式を証明したことになりますか？

積分すると面積が出てくるってのをやったときの長方形と同じことなんじゃないでしょうか。

証明したことになりますね。 n→∞に飛ばした時点で、微小部分は円柱の体積になっているので、普通に円柱の積み重ねで計算するのと同じです。 また逆に、n角柱の積み重ねの積分でn角錐の体積を計算してから、n→∞に飛ばしても同じように証明はできます。 微小部分の高さと底辺の形状を連動させて「高さが1/nのn角形を積み重ねる」みたいなやり方でも、n→∞に飛ばせば円錐の体積が求まりますよ。