July 09, 2015 演繹と帰納についてのノート （2024年4月：この記事に対する補足その１および補足その２を書きました） 以前他の分野の研究者の方と仕事をしていて、演繹というのを「普遍命題から個別命題を導く推論」と理解している方がいて、現代ではその意味で演繹を使うことはまずないです、とコメントしたことがある。しかしそういえば、演繹と帰納という言葉の用法はどのように変遷してきているのか、調べたことはなかった。今後綿密な調査は必要になると思うがとりあえず目立つものをならべておく。（数学的帰納法についてベインとサモンの項及び結論部分に追記しました。誤記をいくつか修正しました） (1) Mill, J.S.  Systems of Logic (1843) 英米の科学方法論の教科書として19世紀には非常に大きな影響力を持った本。ただし、演繹と帰納の関係についてのミルの解釈は独特で、あらゆ

お久しぶりです。このブログ、一年近く放ってありましたが、久々の恒真…もとい更新です。今日は、先日見つけた論理学ネタについて。 一階述語論理と集合論は循環していませんか？ 一階述語論理の意味論には集合概念が使われていて集合論の公理は述語論理で記述されているように感じるのですが、これは卵が先か鶏が先かの構造になっていないのでしょうか。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13108980443 この問題は、質問者自身が言っているようにもちろん擬似問題ではあり、循環はしていないのですが、いい点に気が付いたな、と思います。これは、実は昔から論理学を学ぶ良くできる学生は必ず一度は悩むと言われている問題なのです（ちなみに僕は良くできる学生ではなかったので、自分では気がつきませんでした）。 この質問は、形式的な論理学に関し多く

オンラインで入手できる数理論理学・数学基礎論のテキスト 数理論理学、数学基礎論の教科書的に使えるテキスト（講義ノート、サーヴェイ、モノグラフ等）のうち、オンラインで入手できるものを集めました。 入門的概説 論理一般 高階論理と型理論 直観主義論理 コンビネータとラムダ計算 時相論理および時制論理 様相論理 適切さの論理 自然言語の論理 空間論理 モデル理論 安定性理論 無限論理 計算可能性理論および再帰理論 集合論 pcf理論 記述集合論 実数の集合論 選択公理 強制法と内部モデル 連続体仮説 NF 証明論と構成的数学 順序数解析 算術の体系と不完全性 証明可能性論理 線形論理 構成的数学 代数的論理と圏論 ブール代数 普遍代数 量子論理 圏論 歴史 入門的概説 [▲] 加茂静夫，「数理論理学（命題論理と述語論理）」．[PDF] 嘉田勝，「数理論理学 講義ノート（2013年度版）」． St

A lecture notes for a mini-course in Department of Mathematics, Ghent University, 13 Mar.-25 Mar. 2023.

三浦俊彦「(知の先端の18人)ソール・クリプキ」 『大航海』1999年６月号 pp.132-137. ＊ソール・クリプキ(Saul A. Kripke, 1940〜　） クリプキの代表作（邦訳） ・『名指しと必然性』(八木沢敬・野家啓一共訳: 産業図書、1985年) ・『ウィトゲンシュタインのパラドクス』(黒崎宏訳: 産業図書、1983年) ・「話し手の指示と意味論的指示」(『現代思想』1995年４月号所収) 様相論理学と可能世界 二十世紀の全哲学者について、その思想内容の深遠さを分子に、思想表現の難解さを分母にとったいわば「思想的価値係数」を算出したならば、ソール・クリプキはまず間違いなく、第一位かその近辺にくるのではなかろうか。少なくとも英語圏に限ってみると、クリプキの論説のわかりやすさは群を抜いている。文章が流麗なだけでなく、論証過程も定理の証明さながら整然とし、いかな

培風館 (2003年12月発行, 2009年10月初版第４刷発行)．ISBN 4-563-00337-9． 出版社による本書の紹介は ここ をクリック． 高校レベルのおさらいから始め，素朴集合論から公理的集合論への橋渡しをします． 注．ここで素朴集合論とは，内田伏一「集合と位相 (数学シリーズ) 」裳華房(1986)，松坂和夫「集合・位相入門」岩波(1989)などで紹介されている集合論を指します．主に19世紀後半のカントールの集合論から，20世紀初頭のツェルメロの選択公理までの範囲に相当します．大学の数学科では通常，１，２年生の科目です．また，ここで公理的集合論とは，キューネン（藤田博司 訳）「集合論―独立性証明への案内」のレベルの集合論を指します．ゲーデル，コーエンとその後（20世紀中盤以降）を扱います． 初版第１刷（2003.12.17 発行）正誤表（2010/11/ 5）． 初版第２

はじめに この記事はWikipedia の Semioticsの翻訳である。論理学の完全性の問題が syntax と semantics の問題としてとらえると分かりやすいが、一体どこから出てきた言葉なのだろうと探していたらここにたどり着いた。 論理学の場合、syntax(統辞論) は記号論理学の文法規則と推論規則を示し、semantics (意味論)は命題論理学の真理値や形式的体系の命題に対するタルスキーの定義した真理概念や、形式的体系のモデルを指す。 これらの用語を使うと、ヒルベルトが形式的体系について述べた「点が椅子で、線が机でも構わない。」と言う言葉は、数学を syntax (文法規則)で一元的に構築しようという試みだった事が分かる。数学の本質は論理的演繹という文法規則であり、個々の命題の semantics (意味論) は派生的なものでしかないという考え方である。 命題の証明可能

津留竜馬「真理の理論――タルスキとクリプキ――」（『岩波講座 哲学〈3〉言語/思考の哲学』 岩波書店2009年p. 43-61） 内容 はじめに 一　タルスキの真理定義 二　タルスキからクリプキへ 三　クリプキの理論 おわりに 要約 本論文は、タルスキの真理の理論とクリプキの真理の理論の平易な紹介である。 関連文献 Alfred Tarski, “The concept of truth in formalized languages”, in his Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938 second edition, Hacket, 1983. Alfred Tarski, “The semantic conception of truth and the foundations of semantics

ゲーデルと20世紀の 論理学 （ ロジック ） ［全4巻］ 第1巻　ゲーデルの20世紀　　［執筆者］田中一之／田中尚夫／鈴木登志雄／飯田隆／竹内外史／八杉満利子 19世紀中葉まで時代の動きに取り残され，中世スコラ学の形骸と化していた論理学は，ブール，フレーゲら数学者たちの突然の参入によって，見事な復興をとげた．そして20世紀．ゲーデルを筆頭に，個性豊かで才気煥発な数学者や哲学者たちがつぎつぎと壇上に現れた．彼らはしのぎを削って優れた技法を開発し，ドグマをぶつけ合って思考を深化させ，高度な学問領域としての「ロジック」を形成していった．本巻では，日本を代表するロジシャンたちが，自らの体験を踏まえ，20世紀のロジックの生きた姿を語る．　 第2巻　完全性定理とモデル理論　　［執筆者］田中一之／坪井明人／野本和幸 ゲーデルが最初に証明した重要定理は，１階述語論理の完全性である．この定理は，

中級編までの文献を読んで数学基礎論の一通りの知識を習得した後に タルスキー （Tarski A.） を読んで下さい。 再度、警告するが、中級編の文献を理解できないなら、タルスキー の文献を読んではいけない。　タルスキー は真理の対応説と２値論理を使って、「真理」 の定義を追究するために、「形式化された言語における真理概念」 という論文を1933年に発表して、集合 （クラス） 算の言語 （language of the calculus of classes） を扱い、真理の定義可能性を検討し、形式化された言語のなかでは、真理の定義が可能になることもある--メタ 言語が構築できるなら、真理の定義は可能である--ことを証明した。 タルスキー は、ケ゛ーテ゛ル とはちがうやりかたを使って （数学理論の不完全性について ケ゛ーテ゛ル がやったように 「真っ向から」 扱ったのではないけれど） 真理論

背理法と数学的帰納法はなぜ嫌われるか？真鍋　和弘（札幌篠路高校）１．ぱじめに　証明法の中での背理法と数学的帰納法は日本では高校１年生（数学Ａ）で学ぶことになっているが，これは少し早すぎるような気がしている．伝統的に日本では，数学は計算ができることが重視され，論理性を重んじるヨーロッパなどとは事情が異なるからである．しかし高校では背理法と数学的帰納法は必要ないかというと決してそうではなく，大学レベルの数学を学ぶ際には，これらのことに少しでも触れた経験がある学生とそうでない学生との間には相当の差が生じると思われる．　大学入試にあまり出題されないからという理由で，背理法と数学的帰納法をカットしている進学校も多いと思われるが，彼らが将来必要とする数学的素養はきちんと学ばせるべきだと思う．さらには，理工系の大学に進まない高校生にとっても，①背理法と数学的帰納法の考え方は面白く誰にでも理解できる内容で