半減期を微分方程式で表す その1

概要

放射性原子が崩壊して残りの個数が減っていく様子を微分方程式から導き、半減期の概念を理解する。今回は解きたい微分方程式を作るところまで説明する。

 

考え方

放射性原子は全ての時刻でランダムに一定確率で崩壊する、この「一定確率で減っていく」ことをどのように扱うか、というのが難しいのだが、以下のように言い換えることで式に表すことができる。

 

「ランダムに一定確率で崩壊する」ということはすなわち、以下の2つの文章に等しい。

• 「崩壊する原子の数は元の原子の数に比例する」
  = 元の原子の数が2倍になったら崩壊する数も2倍になる

• 「崩壊する原子の数は観察する期間に比例する」
  = 観察する期間が2倍になったら崩壊する数も2倍になる

 

立式

両辺を原子の数の変化として微分方程式を作る。時刻における放射性物質の残数をで表す。

\begin{eqnarray}
N(t+\Delta t)-N(t)=-\lambda N(t) \Delta t
\end{eqnarray}

ここでが上述した観察期間に相当する。比例定数自体は正の値として、マイナスをつけることで原子の減少を表す。

 

として両辺をで割る。

\begin{eqnarray}
\frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=-\lambda N(t)
\end{eqnarray}

 

両辺のを取る。

\begin{eqnarray}
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0} -\lambda N(t)
\end{eqnarray}

 

左辺が微分の定義に等しいことを用いて書き換える。右辺にはがないのでを取っても変わらない。

\begin{eqnarray}
\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)
\end{eqnarray}

 

求めたい微分方程式が導かれた。