不連続とは？ わかりやすく解説

数学における他の連続：圏論における連続性・スコット連続・連続関数 (集合論)（英語版）・グラフ連続（英語版）・幾何学的連続性（英語版）・連続体[要曖昧さ回避]

実数直線（あるいは実数直線内の区間）が順序完備（英語版）であること（即ち、連続体を成すこと）を、歴史的経緯から「実数の連続性」と呼ぶことがあるが、本項でいう「連続性」と混同してはならない。この連続性は実数全体が絶対値に関してなす距離空間がコーシー完備であることと同値である。また実数直線内の区間が全て連結となることとも言い換えられる。

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数学において、連続（れんぞく、英: continuous）および連続性（れんぞくせい、英: continuity）とは、点の集合が切れていないことを表す概念である。それの厳密な定義は極限によって定式化される。数学における連続の概念は、位相空間の間の写像に対して拡張され、開集合などといった位相的な概念を一定の方法で保つという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間の間の関係を表す最も基本的な枠組みである^{[注 1]}。

一変数実関数の連続性

以下に1変数実関数の場合を主として、関数の連続性および様々な派生概念を述べる。

各点連続

連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x₀ で連続であるとは、x が x₀ に限りなく近づくならば、f(x) が f(x₀) に限りなく近づくことを言う：

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$

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• 高木貞治 『解析概論』（改訂第3版 軽装版）岩波書店、1983年9月。ISBN 4000051717。 
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-540-32696-0. MR2378491. Zbl 1156.46001. https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC 

関連項目

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