ガスコン研究所

問題文の「プールのどこへでも」とゆーのは、監視員が目標に到達するのに、どのような方法をとっても、いちばん時間がかかる場所を探せってことね。そして、そこに最短時間で到達する「どのような方法」も考えなければならない＞＜；

「行こう行こう湯の国へ♪」とコマ大数学研究会がやってきたのは、「スパリゾートハワイアンズ」。完全タイアップにより、実際のプールを使っての検証となった。

移動距離を測るため、プールサイドを移動するときは監視員に赤のロープ、水中は緑のロープを結ぶ。監視員役（プールサイド）は「アタル」、監視員役（水中）は体力のある「お宮」、溺れる人役は「北郷」で「ダンカン」の指示のもと検証開始。ロープの長さで到達時間を出す。たとえば、赤のロープが4ｍなら2秒（陸上：2ｍ／秒）。緑のロープが6ｍなら6秒（水中：1ｍ／秒）というわけね。

●コマ大生の解答

※註：図の数値は爺が書き入れた。目標地点(D)は対角線の(3/4）のところ。つまり、ACは7.5ｍになるが、プールサイドをACの半分まで行ったところ(B)でプールに飛び込む。

コマ大生の答えは「10.6秒」だったが、爺が「Maxima」を使って検算したら、10.26秒だった＾＾； ついでに、図からθの角度を求めると……。

●マス北野＆ポヌさんの解答

マス北野は、最初の段階で対角線上の位置（x=y=7.8）と、いい値を出していたが、水に飛び込む角度や、プールサイドを回って行く方法などを考えているうちに、わけがわからなくなったようだ。結局、ポヌさんが計算で出したという「11.03秒」を答えにした。（※爺註：計算方法は不明）

●衛藤樹さん＆伊藤理恵さんの解答

「スネルの法則」は、光の屈折に関する法則。衛藤さんの解説によると、「sin(入射角)＝速度の逆数で一定」。ということで、「スネルの法則」を使うと、入射角(θ)は、30°と求まる。「光は最短距離を進む」ので、この問題に当てはめると、目標点に到達する最短時間になる。

監視員のいる位置からプールの対角へ移動する際の距離（時間）だが、対角線上AC（水中）を移動するよりも、B地点までプールサイドを進み、そこからCまで水中を進むほうが速い。もちろん、この場合は、C地点まで行くのにプールサイドを走って行けば、10秒しかかからないので、問題の解ではない。

対角線AC上の点Pを考えたとき、A→B→P(解1)と行く方法と、A→D→E→P(解2)と行く、2通りの解がある。PがAからCまで移動するとき、(解1)は増加関数であり、(解2)は減少関数になる。いちばん時間がかかる点Pは、ふたつの関数の交点を求めればよい。

考え方としては、東大生の解法はカンペキなのだが、出てきた答えは、(5/6)*(2√3+3√6)。衛藤さんも「どこかで計算間違いしていると思います」と言っていた。

約9.01秒なのだが、プールの対角までプールサイドを移動しても10秒かかるのだから、もっとも時間がかかる位置が10秒以下になることは考えられない。

正解は「5(3+2√3)/3」秒。約10.77秒。というわけで、全員不正解。

●竹内薫センセの「美しき数学の時間」

問題の対称性から、いちばん時間がかかる場所は対角線上にあることは、すぐにわかる（プールを対角線で2つの領域に分けたとき、溺れている人がそのどちらの領域にいるかで、最適な経路をとる限り、プールサイドを右回り、左回りのどちらか一方が速くなる。すなわち、もっとも時間がかかる場所ではない）。

「スネルの法則」を用いると、最短経路を発見できる。なぜなら、光は最短距離を進むからだ（最小原理）。これが、今回の問題のポイントみたいだ。

竹内センセの図とは、向きが違うけれど、基本的には同じこと。

対角線上の点Pに行く方法は、経路(1)と経路(2)がある。Pの座標を(X,X)とおいているのは、対角線は(Y=X）なので、計算をしやすくするため。

監視員のいる場所を原点(0,0)とすると、経路(1)は、Xが増えるに従って増加していき、逆に経路(2)は、減少していく（最小は点Pが対角にあるときで10秒となる）。もっとも時間のかかる場所は、経路(1)と経路(2)のグラフの交点。つまり、t1＝t2になる位置。

(t1=t2)になるXは、約7.89ｍのところ。このXを式(t1)に代入すれば、かかる時間が計算できる。答えは「約10.77秒」。今回は全員不正解だったのだが、コマ大フィールズ賞は、タイムが一番近かったのと、図の角度がいい線いっていたとの理由で、「コマ大生」が受賞した＾＾；

●ガスコン爺のどーでもいい話

爺は、「ある公式を知っていれば解ける問題」というのが、あまり好きではない。それは、この問題には、この公式とゆーふうに、訓練された条件反射というか、たぶん入試にはいちばん役立つことなのだろうけれど、「なぜ、そーなるのか」まで知りたいと思う。

　でも、今回の東工大の問題は、一芸入試ならではの感がある。試験時間は、4問で5時間ということだから、1問あたり、1時間強の時間を割くことができる。今回のコマ大の演題は「スネルの法則」とゆーことで、この法則を使って解くのだな……と推測できるけれど、問題文には、もちろん、そんなことは書いてない。どのようなアプローチで解決するかを考える問題だ。

たとえば、「ラグランジュの未定乗数法」を使っても、同じ結論を導くことは可能のようだ。

マス北野は「スネルの法則を知っていれば、2秒で解けた」と言っていたが、「スネルの法則」は、「コマ大数学科114講：物理学パート2」で解説されていたんだよね（爺も覚えちゃいないけれど；；）。

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2009年度全講義リスト
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

■コマ大数学科DVD-BOXガイド

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