たけしのコマ大数学科#195
（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ　2010年9月13日 深夜OA


今回のテーマは、
「対称点」

【　NEW！！】

現レギュラー東大生が初登場したころの映像ですね！

木村美紀がゆく！東大生のお部屋潜入レポもある！

韓流スター=ジョンフンの真剣な眼差しも収録！

たけしのコマ大数学科 第8期 DVD-BOX

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そうそう。私が通った立教大学のある池袋にあるもう超人気行列のラーメン店。
ああ、あの味懐かしいなぁ・・・って、それ大勝軒じゃん！
（戸部アナ）

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駄洒落で失笑を買った戸部アナでありましたが、
タカさんがラーメンネタを引き継いで、つづけちゃったよ。

今回の東大生は、
キューティー☆ペア：小橋りさ（工学部4年）さんと岡本麻希（文学部4年）さん

タカさんから好きなラーメンは何？と聞かれ、
小橋さんは、とんこつ好き。
岡本さんとともに東大近くの「砦」がおすすめだそうです。

マス北野も恵比寿の「一風堂」に行くらしい。

コマ大：
ダンカン　〆さばアタル　無法松　ガンビーノ小林

今回は麺特集。
アタル：僕がすきなのは韓国の冷麺。
小林：僕が好きなのは中国の担々麺。
無法松：僕がすきなのは、エジプトのツタンカーメン。
　あれ？あれ？笑いがないなぁ。笑い方知らないのかい？
　笑い方はツタンカーメンだけに、『クフ　クフ　クフ　』
「コマ大～　Fight! Fight! Fight! 」

ポヌさんは担々麺が好き。他のはスープが赤くならないと
水を飲んでるように感じるようです。

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問題：
図のように互いに接する半径１ｍの２つの円AとBがある。
円A上に点P、円B上に点Qがあり、
点Qに関する点Pの対称点を点Rとする。
点Pと点Qがそれぞれ自由に円周上を動くとき、
点Rの通過する領域の面積を求めよ。

PとQがそれぞれの円周上を勝手に動くときに、Rがどこにきてるか、
その範囲を求めよって問題。
大勝軒じゃなくって、対称点というのは、対称図形の中心にある不動点のこと。




コマ大数学研究会の挑戦：

*** -->タカさんの決め文句
　
　「Let's! 対称点！」
（麺の湯きりジェスチャー！（笑））


対戦開始！


東大生は、座標軸に二つの円をおいて、計算で解こうとしている。
マス北野は、正確に作図して解いてゆこうという試みで
まずは点Pを止めてQを動かしたらどうなるかを確かめている。
東大生は計算は終わったものの、出てきた式の解釈に思案・・。
マス北野もだいたいRの範囲が見えてきたようだが・・。


＜東大生プチ情報＞

（今回はナシ）


TIME UP！！


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全員の解答：　
　
コマ大チームの解答
答え、21.616㎡


（解説：）
コマ大の検証、後半VTR。
対称点Rがどんどんプロット（紫の点↓）されてゆく。
検証開始2時間後、大きな円の範囲の外にRはいかないことが分かった。
そしてアタルが図のような同じ三角形がたくさん出来てることを発見。

そこで、オレンジの三角形の面積を実測から計算し、
三角形の数だけ掛け合わして、対称点Rのとりうる範囲の面積とした。
炎天下、親子で頑張った答え。
三角ひとつの面積が、底辺1.4ｍ×高さ1.93ｍ ÷ 2。　×16個で計算。


マス北野チームの解答
答え、35π/4

（解説：）

ひたすら対称点Rを作図して、求める領域は大きな円になると推定。（半径３）
ただ、オレンジの部分のRが通過しない小さい円もあることがわかった。
その小さな円の半径を１/2にして計算した。


東大生チームの解答
答え、９π


（解説：）

円A：(x+1)²+y²=1
円B：(x-1)²+y²=1
A上の任意の点を（X_P,Y_P）、B上の任意の点を（X_Q,Y_Q）とおいて、
Qに関するPの対称点を求めたいので・・。
と、点P,Qを座標上の式で表し、(X_P+X_R)/2 = X_Q、(Y_P+Y_R)/2 = Y_Q
Qが線分PRの中点になることを使って、1文字消去し、
ゴリゴリ計算を進めて、X_R、Y_Rを求めようとした。

それをやってゆくと大変なので、点Qを固定して点Pの対称図形の軌跡を考えた。
すると点Qの対称側に円Aと同じ円がいくつもできることが分かってきて、
半径３の円の中でRが動くことがわかった。
説明の終わった岡本さんは、「これでどう？」って感じで中村先生に、
強い目線を送る。（笑）


正解は：　
　８π㎡
ということで、

全員不正解。

マス北野は半径１の円にすれば正解だったと悔やむ。

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美しき数学の時間　（先生の解説）
　
考え方：

答えを先に言ってしまうと、

図のような半径3の円から半径1の円を抜いた、
ドーナツ形の黄色の部分（円環領域）になる。
なので、面積は半径3の面積９πから半径１の円の面積πを引いた８π。

なぜそう動くか考えるときに、P,Qのどちらかを止めて考える。
今回はQを止めて考えたほうがよい。
すると、円Aの円周は、Qを対称に円O’になって、その円周上にRがある。
その円O’は、点Qが動くことにより、円O’の中心O’は、円Cの円周上を動く。
円Cは、Bを中心にしたAの対象点Oを中心にした半径２の円である。
逆にPを止めて考えると、大きい円が対称側にできて
真ん中が抜けることが分かりにくい。

話は前後したけど、
解き方ステップ１：Qを固定してPをA上で動かすとRはどのように動くか？

円Aの中心をA、Qに関してAと対称な点をO’とすると
図のように、
PQ = QR, AQ = QO' （対称性）
∠PQA = ∠RQO' より　△PQA≡△RQO’なので
O'R = PA , ∠QAP = ∠QO'R
よって、PがA上を動くとき、Rの軌跡はO’を中心とする半径１の円。

解き方ステップ２：Qを動かすとき、O’はどのように動くか？

円Bの中心をB、Bに関してAと対称な点をO
Oを中心とする半径２の円をCとすると、O’は円C上を動く。
上図で、
AB = BO , AQ = QO' より、AB：AO = AQ：AO’ = １：２
∠O’は共通なので、△ABQ∽△AOO'　（相似比１：２）
すなわち、OO' = ２BQ、∠ABQ = ∠AOO'

よって、RはOを中心とする半径3の円と半径１の円間の円環領域を動くので
求める面積＝π（３ｒ）² - πｒ² = ８πｒ²
r=1なので、答えは８π。
※円環領域：
Rがこの領域にあるとき、Rを中心とする半径１の円はCと必ず交わから、
このドーナツ状の領域は埋め尽くされることが分かる。
このとき、Rは交点を中心とする半径１の円周上。

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　　本日のちょっといい話

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対象：

・上のような図形は「点対称図形」
・Qを「対称点」、「対称の中心」という
・対称点を使って点対称な図形を描く操作を「点対称操作」という。
・平面上では対称点を中心とする180°回転と同じ。

・有限の図形では対称点はあってもひとつ。

　例：開始時の将棋の駒の配置。
　
　赤の点（５五のマス）で点対称に駒が並んでいる。
　飛車と角行があるので線対称にはならない。

・無限の図形だと対称点が無限にあることがある。
　
　このように無限に格子が広がっていると、
　全ての頂点（○）、全ての辺の中点（△９、全ての面の中心（×）、
　これらが全て対称点になりうる。


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コマ大フィールズ賞：

今回は「私は子供に甘いんでね」ということで
　コマ大チームに！

エンディングテーマが新しくなりました。

【エンディング曲・ピラミッド(feat.アイヤズ) 収録アルバム】

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★あとがき　

今回の「コマ大のつぶやき」

木村さん：
「コマ大DVD第8期が発売されます。
　今回は私・岡本麻希の自宅大公開の巻！　是非見てくださいね♥」

次回は「超過酷！新罰ゲーム地獄にコマ大悶絶！？」。


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講師：中村亨　
（1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。）
著書：数学21世紀の7大難問 中村 亨 など
学研の参考書・辞典【コラム】中村あきら先生のマスマス数学

解答者：
マス北野
ポヌさん　（ベナン出身・東大大学院生・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）

東大・キューティー☆ペア：小橋りさ（工学部4年）、岡本麻希（文学部4年）
小橋りさ　 profile(ドクモ) 　RISA☆BLOG
岡本麻希　キャンパスパーク 所属 　makiのブログ

コマネチ大学生：
ダンカン　〆さばアタル　無法松　ガンビーノ小林

「コマ大のつぶやき」のイラスト：たけうちきよのり

2010/9/13 深夜OA

コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト（#１～42・マス1グランプリ含）

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