ガスコン研究所

コマ大数学研究会は、親子で挑戦。無法松ジュニアの塩坂一斗（いっと）くんと、ガンビーノ小林ジュニアの小林壮侍（そうじ）くんが参加。地上に描かれた円Ａと円Ｂの円周上を竹馬に乗って動く。点Ｐが一斗くん、点Ｑが壮侍くん。点Ｑに関する点Ｐの対称点、点Ｒは、ＰＱ間の距離を大人たちがメジャーで測り、2倍する。

ところが、ふたりとも、竹馬に乗れず、竹馬に乗る特訓をするところから始まる＾＾；　1時間ほどの特訓でなんとか竹馬に乗れるようになり、大人たちは点Ｒにコーン（道路工事などで見かける赤い円錐）を置いていく……。

●コマ大数学研究会の答え：21.616m^2

マス北野は、いつものように、正確な図を描くことから始める。点Ｐを固定し、点Ｑを動かしたとき、点Ｒの位置をプロットしていく方法でおおまかな全体図をイメージしたようだ。

マス北野によると、大きな円の面積は９πで、そのうち、点Ｒが通過しない領域（図のグレーの部分）があるという。この領域の半径を(1/2)としたとき、面積は(1/4π)になるので、9πから(1/4π)を引き……。

●マス北野＆ポヌさんの答え：(35/4)π

小橋みささん＆岡本麻希さんの東大生チームは、点Ｐと点Ｑの座標を方程式で表し、ゴリゴリ計算したが、それでは、埒があかないということで、点Ｑを固定して考えた。点Ｑを0度として、点Ｐを動かすと、半径1ｍの円ができる。

今度は、点Ｐを固定し、点Ｑを動かすと、図のような形になると考えた。

●小橋みささん＆岡本麻希さんの答え：９π

えええ～っ、という感じ。図では、せっかく、半径１ｍの円の中心が、半径２ｍの円の円周上を動くというところまで、詰めていたのに……。

正解は「８π」

マス北野の「通過しない領域がある」という直感は見事だが、通過しない領域の場所や範囲については、誤りだった。東大生チームは、半径３ｍの円の領域の中に、半径１ｍの通過しない領域があることを見逃してしまった。正解は、このようなドーナツ形になる。

今回は、全チーム不正解だったが、中村センセの温情により、コマ大フィールズ賞は、コマ大数学研究会（とゆーか、一斗くんと、壮侍くん）が獲得した。

●中村亨センセの「美しき数学の時間」

ステップ１：点Ｑを固定して、点Ｐを円Ａの円周上を動かすと、点Ｒはどのように動くか？

円Ａの中心をＡ、Ｑに関してＡと対称な点をＯ’とすると、
PQ＝QR、AQ＝QO'（対称性）
∠PQA＝∠RQO'より、△PQA≡△RQO'なので
O'R＝PA、∠QAP＝∠QO'R
ＰがＡ上を動くとき、Ｒの軌跡はＯ’を中心とする半径1の円

ステップ２：Ｑを動かすとき、Ｏ’はどのように動くか？

円Ｂの中心をＢ、Ｂに関してＡと対称な点をＯ、Ｏを中心とする半径２の円をＣとすると、Ｏ’は円Ｃ上を動く。
AB＝BO、AQ＝QO'より
AB：AO＝AQ：AO'＝１：２
∠Aは共通なので、△ABQ∽△AOO'（相似比１：２）
∴OO'＝２BQ、∠ABQ＝∠AOO'

よって、RはOを中心とする半径３の円と、半径１の円間の円環領域を動くので
面積＝π(3r)^2-πr^2=8πr^2
r=1なので、答えは８π

中村センセのちょっといい話

・上のような図形を「点対称図形」。
・Ｑを「対称点」、「対称の中心」という。
・対称点を使って対称な図形を描く操作を「点対称操作」という。
・平面上では、対称点を中心とする180度回転と同じ。

将棋の開始時の駒の配置は、飛車と角行が向かい合う形なので、線対称にはならず、盤面の中心（５五）における点対称になっている。有限の図形では、対称点はあってもひとつだけ。

ところが、無限の図形だと、対称点が無限個あることがある……というお話だった。

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