表題の言葉達「射影」「入射」「セクション」「レトラクション」などの意味をハッキリさせておきましょう。これらの言葉、特に「射影」「入射」は曖昧多義語で、状況・場面・人により様々な意味で使われます。$` \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} } \newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\o}[1]{ \overline{#1} } \newcommand{\u}[1]{ \underline{#1} } \newcommand{\id}{ \mathrm{id} } \newcommand{\In}{ \text{ in }} %\newcommand{\On}{ \text{ on }} \newcommand{\Iff}{ \Lef

この本、圏論を主題としたものではないのですが、タイトルに「圏論」が含まれる日本語の書籍は他にマックレーンの本（The Book）しかないような状況ですから、読んでみる価値はありそう、と購入。 これ、一般書籍ではなくて雑誌の別冊なのでISBNは付いていません。 http://www.saiensu.co.jp/magazine-htm/spsk-200612.htm 臨時別冊・数理科学　SGCライブラリ 52 理工系のための トポロジー・圏論・微分幾何 ― 双対性の視点から ― 定価1980円（本体価格1886円＋税）　谷村 省吾著 著者・谷村省吾さんは物理学者で、趣旨としては、物理の基礎知識として「トポロジー・圏論・微分幾何」を解説するというものでしょう。サブタイトルは「双対性の視点から」 -- 実際、双対性への言及が頻繁に登場します。（それでも双対性ってよくわからん、って気もするが。）

$`x = y`$ と書かれていたら、「その意味は明らかだ」と多くの人は思うでしょう。が、イコール／等式の意味や用法はそんなに簡単でもないですよ。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} %\newcommand{\mfk}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcommand{\On}{ \text{ on } } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } %\newcommand{\op}{\mathrm{op} } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\twoto}{

たまたま、"What is a logic, and what is a proof?" (April 8, 2005) by Lutz Strassburgerという論文を見つけて、読んでみました。比較的短い（印刷して12P）解説的な論文です。表題のとおり、 論理とはなにか？ 証明とはなにか？ という2つのテーマを扱ってます。後半1/3程をしめる「証明とはなにか？」が僕はよくわからんかったのだけど、前半は、「論理（a logic）は圏だよ」という主張をとても上手に説明しています。で、まー、この前半部分を紹介しようかと。 ただし、以前に書いたエントリーを参照しながら私見を交える（私見のほうが多いかな）ので、上記論文の忠実な紹介にはなってません。気になる方は原文を読んでくださいね。 第1回（このエントリー） 第2回 第3回 第4回(完) 今回の内容： プレ順序集合 論理とはプレ順序集合なり

ここ最近の本ブログのテーマは「カリー／ハワード／ランベック対応」です。最近の記事がすべてカリー／ハワード／ランベック対応に関係するわけではありませんが、9月の記事「関数の構成法 (カリー／ハワード／ランベック対応も少し)」あたりから、カリー／ハワード／ランベック対応についてまた考える機会が増えました。 以前からの悩みのタネなんですが、「カリー／ハワード／ランベック対応とハイティング／ド・モルガン圏」で書いたこと： この綺麗な対応がなかなか伝わらないようです。対応が見えにくくなっている大きな原因は、構造が綺麗に対応していても、言葉や記号は対応してないことです。論理／型理論／圏論の三者において、まったく違った呼び名・書き方・言い回しが使われています。 ...[snip]... 表層的な呼び名・書き方・言い回しの違いに惑わされて、概念・構造の同型性が見えにくくなっているケースが多いようです。 こ

集合論の所属関係（関係記号は '$`\in`$'）と型理論の居住関係（関係記号は '$`:`$'）は似ているけど違う、という話を「型・インスタンス・宇宙とタルスキ宇宙系列 // 居住関係」でしました。 所属関係と居住関係を区別しなくてもよい場合もあります。しかし、区別しないと“まったくワケワカメ”となる状況もあります。集合と型、要素とインスタンスをどう区別するかを説明します。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1} } %\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1} } %\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} } %\newcommand{\Imp}{\mathrel{\R

指標〈signature〉と呼ばれる構文的形式は、数学ならば公理系の記述に使われます。例えば、群の公理系とか可換環の公理系とかを指標で書けます。ソフトウェア／プログラミング分野の言葉で言うなら、指標はインターフェイスです。 インターフェイスには、それを決めた人（設計者／策定者）がいます。インターフェイスの利用者とインターフェイスの実装者もいます（別人とは限らず同一人物のこともあります）。立場・役割りとして、設計者・利用者・実装者があるのです。 設計者・利用者・実装者という立場・役割りが存在することは、一般的な指標でも同様です。設計者・利用者・実装者それぞれの、異なる視点を理解しないで指標を見ていると、ボンヤリとした印象しか持てないでしょう。指標に向かい合うとき、自分は今どの立場・役割りから指標を見ているのかを強く意識しましょう。$` \newcommand{\mrm}[1]{ \mathr

思いつきは単純だった。圏論、せっかく夏休みで勉強したからな。 なんとしても元を取りたい。 すぐに生成AIに聞いてみる。（これは生成AIが無ければ出来なかった） プロセスマイニングを圏論を用いて計算する事は出来ませんか？ プロンプト実際、「計算」までは求めていない。ただ、誰がやっても同じ結果が得られる普遍的な表現方法が欲しかったのだ。IEの方法ではココまで具体的な表現方法が提示されていないので一番大事な過程が属人的になってしまう。 （一番いいのは、図示→何らかの数式化→計算可能） ChatGPTは惨敗だった。しかしClaudeは違う。 「資源理論」というらしい。夏休みに勉強したから、ここに書いてあるくらいの事は分かる。 プロセスマイニングを圏論を用いて計算することは、非常に興味深いアプローチです。これは可能ですが、複雑で高度な数学的概念を必要とします。 プロセスマイニングと圏論を組み合わせる

プログラミングにおいて、レンズ〈lens〉と呼ばれる構造が使われる機会が増えているようです。古典的なレンズが幾つかの方向に一般化されていて、「レンズってなに？」と聞かれても答えにくい状況になっています。 一番簡単な（と僕が思っている）ストレージの例からはじめて、具象レンズを導入し、それらのあいだの関係を調べます。記述と計算にストリング図を使用します。 内容： 元祖レンズ 元祖レンズの圏 元祖レンズ達はホントに圏なのか？ Webサーバーモデル 具象レンズ 元祖レンズと具象レンズ おわりに シリーズ目次（リンク）： 圏論的レンズ 最初の一歩： ストリング図を中心に（この記事） 圏論的レンズ 2： 具象オプティック 圏論的レンズ 訂正と補足： 具象レンズ＝具象オプティック 圏論的レンズ 3： レンズ／オプティックのための描画法 圏論的レンズ 4： テレオロジー圏 圏論的レンズ 5： オプティック

2023-02-09の僕のツイート： 矢印「→」が異なる意味でオーバーロードされているのは相当に深刻な問題だなー。 これで混乱したり挫折する人がいるから、弊害とても大きい。 十数年前からカリー／ハワード対応のセミナーとかやっているわけです。 複数の分野に関係する事柄を説明するのはなかなか難しい、計算過程を理解する／してもらうのも大変。だがしかし、僕やあなたが悪いとは限らない： 説明がうまくいかないときは用語法が悪いのかも知れない。 計算がうまくいかないときは記法が悪いのかも知れない。 デカルト閉圏周辺の記法、特に矢印の使い方を整理して、概念がもっとスッキリするように／計算がもっと楽になるようにしましょう。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\mrm}[1]{\mat

カリー／ハワード／ランベック対応〈Curry-Howard-Lambek correspondence〉は、「型理論（ラムダ計算を含む）」「論理」「圏論」の三分野の概念のあいだの精密・詳細な対応を与えてくれます。しかし、言葉はうまく対応してくれません。異なる分野の言語・文化・習慣にはギャップがあるからです。 言葉の対応表（つまり翻訳の辞書）が作れないのは僕の長年の悩みです。ことあるごとに辞書を試作してはうまくいかずヘコんでいます。 以下は、現時点でのだいたいの辞書〈対応表〉です。ハイフンの欄は適切な言葉が見つからなかった場所です。単語末尾の疑問符 '?' は、その言葉をその意味で使うことがポピュラーではないことを示します。単語末尾のアスタリスク '*' は、その言葉の意味を拡張・制限して使う必要があることを示します。 型理論 論理 圏論 型 命題 対象 計算 証明 射 ペア型 連言命題 直

「依存アクテゴリーに向けて」において： 当然に、アクテゴリーは依存アクテゴリーの事例となります。その他に良い事例はないでしょうか？ 「最近の型理論： 拡張包括構造を持ったインデックス付き圏」で概要を述べた包括圏〈comprehension category〉が、依存アクテゴリーの事例になりそうです。 「最近の型理論： 拡張包括構造を持ったインデックス付き圏」は、バート・ジェイコブス〈Bart Jacobs〉の包括圏〈comprehension category〉というより、ファミリー付き圏と局所デカルト閉圏を若干抽象化した圏を想定して書いていたようです。 型理論では、型の意味論としてファミリー付き圏〈CwF | category with families〉や局所デカルト閉圏〈LCCC | locally cartesian closed category〉なども使われます。もし、包括圏が

Cが2次元の圏であって、対象、射、2-射（2-セル）を持っているとします。このとき、2-射を忘れて対象と射だけを考えることに何の問題もありません。Cを通常の（1次元の）圏とみなせます。 では、対象を忘れて射と2-射だけを考えたいときはどうでしょう。射の集合と2-射の集合を単純に取り出しただけでは圏にはなりません。次元が低い構成素を削り落とすには何らかの工夫が必要です。 そんな工夫のひとつとして、高次圏の台となる構造（下部構造）を、高次の箙〈えびら〉を使って表現してみます。高次の箙は、高次圏（higher category, n-category）を記述する便利な言葉を提供します。 内容： 反射的箙 反射的箙の別な定式化 半反射的箙と概反射的箙 高次圏と高次箙 共端対とホム箙 実例：小さい圏の圏 まとめと展望 反射的箙 箙（quiver）とは、「多重辺と自己ループ辺を許す有向グラフ」という長

※本記事はロマ数トレラン「カリー・ハワード対応から見る『プログラミング言語、論理システム、圏』」の講師である檜山正幸先生によるカリー・ハワード対応の入門記事になります。ご興味を持った方は是非ゼミにご参加ください。ガイダンス回は無料となっております。 ロマ数トレラン「カリー・ハワード対応から見る『プログラミング言語、論理システム、圏』」のお申し込みはこちらのページよりお願いいたします。⇒http://romanticmathnight.org/1245 数学をする上でほとんどの人が（潜在的にでも）使っている古典論理は、強力で万能な論理です。この記事では、古典論理より非力で小さい論理である連言含意論理というものを話題にします。非力で小さいからといって、つまらないわけではありません。非力で小さい論理を糸口にたどっていった先には、けっこう壮大なメカニズムがあったりします。 古典論理 古典論理の「古

「第4歩」と書いたからと言って続くかどうかはわからない -- というセリフはもうやめよう。はじめの何歩かは進んだから、もう、いつ中断してもいいからな。 で、第4歩のネタなんですが、もっともっと実例を出すか、一般的な議論をするか悩みました（少しだけ）。結局、今までの例から新しい例を作り出してみることにしました。与えられた圏から新しい圏を作り出す手続きを（圏論的）構成（construction）というのですが、構成は非常に重要です。例えば、純関数の圏から状態機械の圏を作り出すCirc構成、モナドを使って射の概念を拡張するKleisli構成*1、よい性質の射の対を選び出すEP（埋め込み／射影）構成、2つの圏C, Dから関手圏DCの構成、非決定性（の一種）を導入するベキ構成、トレース付きモノイド圏からコンパクト閉圏を作るInt構成（GoI構成とも呼ぶ）などが、新しい圏を大量生産する製造機械として活