Көпбұрыш

Көпбұрыш түрлері.

Көпбұрыш – жазықтықтағы кез келген тұйық сынық сызық. Сынық сызықтың әрбір бөлігі көпбұрыштың қабырғасы, ал олардың ұштары көпбұрыштың төбелері деп аталады. Егер сынық сызық қарапайым болса, онда көпбұрыш қарапайым көпбұрыш деп, ал күрделі болса, жұлдыз тәрізді көпбұрыш деп аталады. Көпбұрыш жазықтықты бірнеше облысқа бөледі. Қарапайым көпбұрыш жазықтықты біреуінде түзу толығынан жататын, ал екіншісінде толық жатпайтын екі облысқа бөледі. Біріншісін көпбұрыштың сыртқы облысы, екіншісін ішкі облысы дейді. Көпбұрыш осы облыстардың шекарасы болады. Көпбұрыш пен оның ішкі облысын біріктірсек, екі өлшемді көпбұрыш шығады. Егер көпбұрыштың төбелері кез келген қабырғасы арқылы жүргізілген түзудің бір жағында жатса, онда оны дөңес көпбұрыш дейді. Төбесі арқылы өтетін қабырғалардың ішкі облыс жағынан жасайтын бұрышын көпбұрыштың ішкі бұрышы дейді.

Кез келген n қабырғалы өзара қиылыспайтын көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы (n–2)180°-қа тең. Әрбір қарапайым көпбұрыштың кем дегенде бір бұрышы жазық бұрыштан кіші болады. Бір қабырғаның ұштары болмайтын екі төбені қосатын кесіндіні көпбұрыштың диагоналы дейді. Егер көпбұрыштың барлық қабырғалары мен ішкі бұрыштары өзара тең болса, онда оны дұрыс көпбұрыш деп атайды. Дұрыс көпбұрыш әрқашанда дөңес болады. Тек үшбұрыштың ғана қабырғаларының теңдігінен бұрыштарының теңдігі шығады. Жалпы жағдайда олай болмайды. Қабырғалары тең, бірақ бұрыштары әр түрлі n бұрышты көпбұрыш (n>3) және бұрыштары тең, бірақ қабырғалары әр түрлі n бұрышты көпбұрыш болуы мүмкін. Дұрыс көпбұрыштың барлық төбелері арқылы өтетін сырттай шеңбер сызуға болады. 1801 ж. неміс математигі Карл Гаусс циркульдің және сызғыштың көмегімен қабырғалары m = 2np1p2...pk түрінде берілген (мұндағы p₁, p₂, ..., p_k – әр түрлі гаусстық жай сандар) дұрыс көпбұрышты салуға болатындығын көрсетті. Қазіргі кезде гаусстық санның (p) мынадай 5 түрі белгілі: 3, 5, 17, 257, 65337. Зерттеу жұмыстарының нәтижесінде m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... болғанда көпбұрышты салуға болатындығы, ал m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ... болғанда көпбұрышты салуға болмайтындығы анықталды. Бесбұрыштан бастап дөңес емес дұрыс көпбұрыш (өзара қиылысатын немесе жұлдызшалы) кездеседі. Олардың барлық қабырғалары тең, барлығының бұрыштары тең және бағыттары бірдей болады. Мұндай көпбұрыштардың төбелері бір шеңбердің бойында жатады.

Төмендегі кестеде дұрыс көпбұрыштар қабырғаларының саны және оларды сырттай және іштей сызылған шеңберлерді радиустарының ұзындығын, көпбұрыштардың аудандарын анықтайтын формулалар топталған.

Дұрыс көпбұрыштың қабырғасының ұзындығы - k

Қабырғалар саны	Сырттай сызылған шеңбер радиусы	Іштей сызылған шеңбердің радиусы	Аудан
3	$~{\dfrac {k{\sqrt {3}}}{3}}$	$~{\dfrac {k{\sqrt {3}}}{6}}$	$~{\dfrac {k^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$
4	$~{\dfrac {k{\sqrt {2}}}{2}}$	$~{\dfrac {k{\sqrt {2}}}{2}}$	$~k^{2}$
5	$~{\dfrac {k{\sqrt {3}}}{3}}$	$~{\dfrac {k}{10}}{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$	${\dfrac {k^{2}}{4}}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}}}}$
6	$~k$	$~{\dfrac {k^{2}{\sqrt {3}}}{2}}$	$~{\dfrac {3k^{2}{\sqrt {3}}}{2}}$
8	$~{\dfrac {k}{2}}{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}$	$~{\dfrac {k}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)$	$~3k^{2}\left(1+{\sqrt {2}}\right)$
10	$~{\dfrac {k}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	$~{\dfrac {k}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\dfrac {5}{2}}k^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$