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正四十二角形
四十二角形(よんじゅうにかくけい、よんじゅうにかっけい、tetracontadigon)は、多角形の一つで、42本の辺と42個の頂点を持つ図形である。内角の和は7200°、対角線の本数は819本である。
正四十二角形においては、中心角と外角は8.571…°で、内角は171.428…°となる。一辺の長さが a の正四十二角形の面積 S は

正三角形、正七角形、正四十二角形でのタイリング
を平方根と立方根で表すことが可能である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{42}}=&\cos {\frac {\pi }{21}}\\=&{\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cos {\frac {2\pi }{21}}}}\\=&{\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot {\frac {1+{\sqrt {21}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(42{\sqrt {3}}-18{\sqrt {7}}\right)i}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(18{\sqrt {7}}-42{\sqrt {3}}\right)i}}}{12}}}}\\=&{\frac {1}{12}}{\sqrt {72+6\left({1+{\sqrt {21}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(42{\sqrt {3}}-18{\sqrt {7}}\right)i}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(18{\sqrt {7}}-42{\sqrt {3}}\right)i}}}\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47b080277eaa0d175156941c741da75fec32060)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{42}}=&\cos {\frac {2\pi }{3\cdot 14}}\\=&{\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{14}}+i\cdot \sin {\frac {2\pi }{14}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{14}}-i\cdot \sin {\frac {2\pi }{14}}}}\right)\\=&{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt[{3}]{{\tfrac {\sqrt {3\left(20+2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}+i\cdot {\tfrac {\sqrt {3\left(28-2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}-2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt[{3}]{{\tfrac {\sqrt {3\left(20+2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}-i\cdot {\tfrac {\sqrt {3\left(28-2{\sqrt[{3}]{28-84i{\sqrt {3}}}}-2{\sqrt[{3}]{28+84i{\sqrt {3}}}}\right)}}{12}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e07a8abf3503d9b28471f63112381fadd637e53)
- 関係式
以下のように定義すると

は以下の関係式より求められる。

三次方程式の係数を求めると

解と係数の関係より

変数変換、関係式より

整理すると

三角関数、逆三角関数を使用した解は

平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x={\frac {\alpha }{3}}+{\frac {\sqrt {2\alpha +8}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(15\alpha +46)}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}}}}+i{\frac {\sqrt {189(\alpha +3)}}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}}}}}}+{\frac {\sqrt {2\alpha +8}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(15\alpha +46)}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}}}}-i{\frac {\sqrt {189(\alpha +3)}}{2({2\alpha +8})^{\frac {3}{2}}}}}}\\&x={\frac {\alpha }{3}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{{-4(15\alpha +46)}+i\cdot 4{\sqrt {189(\alpha +3)}}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{-4(15\alpha +46)-i\cdot 4{\sqrt {189(\alpha +3)}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4935042d7db5253741eb3cacb7765c43a4bd3908)
αの値((-1+√21)/2)を代入して、整理すると
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{42}}={\frac {-1+{\sqrt {21}}+{\sqrt[{3}]{-154-30{\sqrt {21}}+\left(42{\sqrt {3}}+18{\sqrt {7}}\right)i}}+{\sqrt[{3}]{-154-30{\sqrt {21}}-\left(42{\sqrt {3}}+18{\sqrt {7}}\right)i}}}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea7bf6c1e49573834ec764d088f6b5d9409e2fa)
正四十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正四十二角形は折紙により作図可能である。
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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