七十角形

正七十角形

七十角形（ななじゅうかくけい、ななじゅうかっけい、heptacontagon）は、多角形の一つで、70本の辺と70個の頂点を持つ図形である。内角の和は12240°、対角線の本数は2345本である。

正七十角形

正七十角形においては、中心角と外角は5.142…°で、内角は174.857…°となる。一辺の長さが a の正七十角形の面積 S は

$S={\frac {70}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{70}}$

$\cos(2\pi /70)$を平方根と立方根で表すことが可能である。

関係式

${\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{70}}+2\cos {\frac {22\pi }{70}}+2\cos {\frac {38\pi }{70}}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)=x_{1}\\2\cos {\frac {6\pi }{70}}+2\cos {\frac {66\pi }{70}}+2\cos {\frac {26\pi }{70}}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)=x_{2}\\2\cos {\frac {18\pi }{70}}+2\cos {\frac {58\pi }{70}}+2\cos {\frac {62\pi }{70}}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)=x_{3}\\2\cos {\frac {54\pi }{70}}+2\cos {\frac {34\pi }{70}}+2\cos {\frac {46\pi }{70}}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)=x_{4}\\\end{aligned}}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

${\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{70}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{70}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{70}}\right)^{3}=&3x_{1}+x_{2}+6x_{3}+12\cos {\frac {2\pi }{10}}+3\omega (2x_{1}+x_{2}+x_{3})+3\omega ^{2}(2x_{1}+x_{4}+6\cos {\frac {6\pi }{10}})\\=&{\tfrac {{5-47{\sqrt {5}}-15{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+4{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}+3{\sqrt {3}}\left(-7+7{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+2{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)i}{8}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{70}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{70}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {38\pi }{70}}\right)^{3}=&3x_{1}+x_{2}+6x_{3}+12\cos {\frac {2\pi }{10}}+3\omega ^{2}(2x_{1}+x_{2}+x_{3})+3\omega (2x_{1}+x_{4}+6\cos {\frac {6\pi }{10}})\\=&{\tfrac {{5-47{\sqrt {5}}-15{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+4{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}-3{\sqrt {3}}\left(-7+7{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+2{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)i}{8}}\\\end{aligned}}$

両辺の立方根を取ると

${\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{70}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{70}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{70}}=&{\sqrt[{3}]{\tfrac {{5-47{\sqrt {5}}-15{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+4{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}+3{\sqrt {3}}\left(-7+7{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+2{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)i}{8}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{70}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{70}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {38\pi }{70}}=&{\sqrt[{3}]{\tfrac {{5-47{\sqrt {5}}-15{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+4{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}-3{\sqrt {3}}\left(-7+7{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+2{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)i}{8}}}\\\end{aligned}}$

よって

${\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{70}}=&{\frac {1}{6}}\left({\tfrac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {{5-47{\sqrt {5}}-15{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+4{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}+3{\sqrt {3}}\left(-7+7{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+2{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)i}{8}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {{5-47{\sqrt {5}}-15{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+4{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}-3{\sqrt {3}}\left(-7+7{\sqrt {5}}-{\sqrt {14\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+2{\sqrt {14\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)i}{8}}}\right)\\\end{aligned}}$

正七十角形の作図

正七十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正七十角形は折紙により作図可能である。

関連項目

• 五角形
• 七角形
• 十角形
• 十四角形
• 三十五角形