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正十三角形
十三角形(じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon)は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。
正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる(下線部は循環節)。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は

となる。
を平方根と立方根で表すと[1]、
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {-1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}}}{2}}}=0.8854560...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d882ce8a885c2ea8d73c97a95006d0ca01b3ec)
Trigonometric constants expressed in real radicalsより
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {{\sqrt {13}}-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12i{\sqrt {39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12i{\sqrt {39}}}}}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ad6962d136ede8554a9e315daafd41531b8e5e)
- 求め方
以下のようにα、βを置く

和と差の平方を求めると

α-βを求めると(α > βより)

よって

一方

両辺の立方根を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae32d7142cbf2c40c09543ef8aee5e091227e1e)
正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。
正十三角形は折紙により作図可能である[2]。
チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。
20コルナ硬貨
ウィキメディア・コモンズには、
十三角形に関連するカテゴリがあります。
- Weisstein, Eric W. "Tridecagon". mathworld.wolfram.com (英語).
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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