Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Gruppo diedrale

In matematica, il gruppo diedrale di ordine $2n$ è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a $n$ lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con ${\mbox{D}}_{n}$ ; si usano anche le notazioni ${\mbox{Dih}}_{n}$ e ${\mbox{D}}_{2n}$ .

Gli elementi del gruppo diedrale

In generale, il gruppo D_n ha $|D_{n}|=2\ n$ con elementi seguenti:

D_{n}=\{C_{n}^{n},\ C_{n},\ C_{n}^{2},\ \ldots ,\ C_{n}^{(n-1)},\ \sigma ^{1},\ \sigma ^{2},\ \ldots ,\ \sigma ^{n}\}=\{r_{0},\ldots ,r_{n-1},\ s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}

e legge di composizione data dalle seguenti formule:

\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto $n$ rotazioni possibili e $n$ assi di simmetria per un poligono di $n$ lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da $2n$ elementi.

Una rotazione del pentagono di ${\frac {360^{\circ }}{5}}=72^{\circ }={\frac {2\pi }{5}}{\mbox{rad}}$

Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria

Indicato con $r$ la rotazione di ${\frac {2\pi }{n}}$ radianti in senso antiorario, e $s$ la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

$r^{n}=1$ : dopo $n$ rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
$s^{2}=1$ : due riflessioni consecutive si annullano;
$r^{k}s=sr^{n-k}$ : in particolare, il gruppo non è commutativo;
ogni simmetria si può ottenere come composizione di $s$ e di un adeguato numero di rotazioni $r$ ;
la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da $r$ ed $s$ ; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni $s_{1}$ e $s_{2}$ (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).

Un rotazione si può ottenere come la composizione di due riflessioni

Esempi

The following Cayley table shows the effect of composition in the group D₃ (the symmetries of an equilateral triangle). r₀ denotes the identity; r₁ and r₂ denote counterclockwise rotations by 120° and 240° respectively, and s₀, s₁ and s₂ denote reflections across the three lines shown in the adjacent picture.

	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₀	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₁	r₁	r₂	r₀	s₁	s₂	s₀
r₂	r₂	r₀	r₁	s₂	s₀	s₁
s₀	s₀	s₂	s₁	r₀	r₂	r₁
s₁	s₁	s₀	s₂	r₁	r₀	r₂
s₂	s₂	s₁	s₀	r₂	r₁	r₀

For example, s₂s₁ = r₁, because the reflection s₁ followed by the reflection s₂ results in a rotation of 120°. The order of elements denoting the composition is right to left, reflecting the convention that the element acts on the expression to its right. The composition operation is not commutative.^[1]

In all cases, addition and subtraction of subscripts are to be performed using modular arithmetic with modulus n.

Definizioni equivalenti

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

è il gruppo con presentazione

\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

oppure

\langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=(s_{1}s_{2})^{n}=1\rangle

;

è il prodotto semidiretto dei gruppi ciclici $\mathbb {Z} _{n}$ e $\mathbb {Z} _{2}$ , con $\mathbb {Z} _{2}$ che agisce su $\mathbb {Z} _{n}$ per inversione;

Proprietà

per $n\geq 3$ , ${\mbox{D}}_{n}$ è un sottogruppo del gruppo simmetrico $S_{n}$ ;
dato un numero $m$ che divide $n$ , ${\mbox{D}}_{n}$ ha ${\frac {n}{m}}$ sottogruppi di tipo ${\mbox{D}}_{m}$ e un sottogruppo di tipo $\mathbb {Z} _{m}$ ;

Proprietà che dipendono dalla parità dei lati

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici opposti e metà passano per il centro dei lati opposti) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di $n$ :

Centro del gruppo Z(D_n)

Il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se $n$ è dispari, mentre contiene anche l'elemento $r^{\frac {n}{2}}$ (equivalente alla rotazione di 180°) se $n$ è pari.

Classi di coniugio per operazioni di riflessione

se $n$ è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece $n$ è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni. Se pensiamo alle isometrie di un n-agono regolare: per n dispari si hanno rotazioni nel gruppo tra ogni coppia di riflessioni, mentre per gli n pari solo la metà delle riflessioni si ottiene con le rotazioni.

Geometricamente, in un poligono dispari ogni asse di simmetria passa per un vertice e un lato, mentre in un poligono pari esistono due insiemi di assi, ciascuno corrispondente a una classe di coniugazione: quelli che passano per due vertici e quelli che passano per due lati.

Algebricamente, per n dispari questa è un'istanza del coniugato Teorema di Sylow: ogni riflessione, insieme all'identità, forma un sottogruppo di ordine 2, che è un 2-Sylow (2 = 2Template:Sup è la potenza massima di 2 che divide 2 n = 2[2k + 1]), mentre per n pari, questi sottogruppi di ordine 2 non sono sottogruppi Sylow perché 4 (una potenza maggiore di 2) divide l'ordine del gruppo.

Per n pari esiste invece un automorfismo esterno che scambia i due tipi di riflessioni (propriamente, una classe di automorfismi esterni, che sono tutti coniugati da un automorfismo interno).

Gruppo degli automorfismi

The automorphism group of Template:Math is isomorphic to the holomorph of $\mathbb {Z}$ /n $\mathbb {Z}$ , i.e., to Hol( $\mathbb {Z}$ /n $\mathbb {Z}$ ) = {ax + b | (a, n) = 1} and has order nϕ(n), where ϕ is Euler's totient function, the number of k in 1, ..., n − 1 coprime to n.

It can be understood in terms of the generators of a reflection and an elementary rotation (rotation by k(2π/n), for k coprime to n); which automorphisms are inner and outer depends on the parity of n.

For n odd, the dihedral group is centerless, so any element defines a non-trivial inner automorphism; for n even, the rotation by 180° (reflection through the origin) is the non-trivial element of the center.
Thus for n odd, the inner automorphism group has order 2n, and for n even (other than n = 2) the inner automorphism group has order n.
For n odd, all reflections are conjugate; for n even, they fall into two classes (those through two vertices and those through two faces), related by an outer automorphism, which can be represented by rotation by π/n (half the minimal rotation).
The rotations are a normal subgroup; conjugation by a reflection changes the sign (direction) of the rotation, but otherwise leaves them unchanged. Thus automorphisms that multiply angles by k (coprime to n) are outer unless k = ±1.

Esempi

$D_{9}$ ha 18 automorfismi interno. As 2D isometry group D₉, the group has mirrors at 20° intervals. The 18 inner automorphisms provide rotation of the mirrors by multiples of 20°, and reflections. As isometry group these are all automorphisms. As abstract group there are in addition to these, 36 outer automorphisms; e.g., multiplying angles of rotation by 2.

Template:Math has 10 inner automorphisms. As 2D isometry group D₁₀, the group has mirrors at 18° intervals. The 10 inner automorphisms provide rotation of the mirrors by multiples of 36°, and reflections. As isometry group there are 10 more automorphisms; they are conjugates by isometries outside the group, rotating the mirrors 18° with respect to the inner automorphisms. As abstract group there are in addition to these 10 inner and 10 outer automorphisms, 20 more outer automorphisms; e.g., multiplying rotations by 3.

Compare the values 6 and 4 for Euler's totient function, the multiplicative group of integers modulo n for n = 9 and 10, respectively. This triples and doubles the number of automorphisms compared with the two automorphisms as isometries (keeping the order of the rotations the same or reversing the order).

The only values of n for which φ(n) = 2 are 3, 4, and 6, and consequently, there are only three dihedral groups that are isomorphic to their own automorphism groups, namely Template:Math (order 6), Template:Math (order 8), and Template:Math (order 12).^[2]^[3]^[4]

Inner automorphism group

The inner automorphism group of Template:Math is isomorphic to:^[5]

Template:Math if n is odd;
Template:Math if Template:Math is even (for Template:Math, Template:Math ).

Gruppi diedrali piccoli

Il caso $n=1$ è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di $2\pi$ e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo $\mathbb {Z} _{2}$ .

Il caso $n=2$ (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di $\pi$ e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ (gruppo di Klein).

${\mbox{D}}_{1}$ e ${\mbox{D}}_{2}$ sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

Gruppi diedrali e radici dell'unità

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

\left\{r_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}:\,k=0,\,1,\,\ldots ,\,n-1\right\}\subseteq (\mathbb {C} )

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a $n$ lati. La moltiplicazione per $r_{1}$ corrisponde alla rotazione di ${\frac {2\pi }{n}}$ , mentre l'operazione di coniugazione complessa ${\overline {x+iy}}=x-iy$ corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine $n$ .

Generalizzazioni

Gruppo diedrale infinito

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione $a$ di un angolo sottomultiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero $n$ per cui $a^{n}$ è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di $2\pi$ , non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con $D_{\infty }$ ) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da $\langle r,s\mid s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle$ oppure $\langle s_{1},s_{2}\mid s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=1\rangle$ .

Gruppo diedrale generalizzato

Dato un gruppo commutativo $H$ , il gruppo diedrale generalizzato di $H$ , che si indica con ${\mbox{D}}(H)$ , è il prodotto semidiretto di $H$ e di $\mathbb {Z} _{2}$ , con $\mathbb {Z} _{2}$ che agisce su $H$ per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:

{\begin{matrix}\forall h_{1},\,h_{2}\in H,\,t_{2}\in \mathbb {Z} _{2}:\\(h_{1},0)\cdot (h_{2},t_{2})&=&(h_{1}+h_{2},t_{2})\\(h_{1},1)\cdot (h_{2},t_{2})&=&(h_{1}-h_{2},1+t_{2})\end{matrix}}

Poiché ${\mbox{D}}(\mathbb {Z} _{n})={\mbox{D}}_{n}$ e ${\mbox{D}}(\mathbb {Z} )={\mbox{D}}_{\infty }$ , questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo $(h,0)$ corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di ${\mbox{D}}(H)$ isomorfo ad $H$ , mentre gli elementi del tipo $(h,1)$ corrispondono alle riflessioni.

Bibliografia

Roger Penrose, Gruppi di simmetria, in La strada che porta alla realtà, traduzione di Emilio Diana, Milano, BUR, 2006, ISBN 88-17-01233-5.

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

(EN) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group." From MathWorld--A Wolfram Web Resource., su mathworld.wolfram.com.
Applet java didattica sui gruppi, su dmi.units.it.

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^ Errore nelle note: Errore nell'uso del marcatore <ref>: non è stato indicato alcun testo per il marcatore lovett
^ A Course in Group Theory, Oxford University Press, 1996, p. 195, ISBN 9780198534594.
^ Groups of small order, su math.ucsd.edu, Dept of Mathematics, University of South Florida.
^ Automorphism groups for semidirect products of cyclic groups (PDF), su math.uchicago.edu, 2 November 2013.
«Corollary 7.3. Aut(D_n) = D_n if and only if φ(n) = 2»
^ Automorphisms of the Dihedral Groups, in Proc Natl Acad Sci U S A, vol. 28, n. 9, September 1942, pp. 368–71, DOI:10.1073/pnas.28.9.368.

[lovett-1] Errore nelle note: Errore nell'uso del marcatore <ref>: non è stato indicato alcun testo per il marcatore lovett

[2] A Course in Group Theory, Oxford University Press, 1996, p. 195, ISBN 9780198534594.

[3] Groups of small order, su math.ucsd.edu, Dept of Mathematics, University of South Florida.

[4] Automorphism groups for semidirect products of cyclic groups (PDF), su math.uchicago.edu, 2 November 2013.
«Corollary 7.3. Aut(D_n) = D_n if and only if φ(n) = 2»

[5] Automorphisms of the Dihedral Groups, in Proc Natl Acad Sci U S A, vol. 28, n. 9, September 1942, pp. 368–71, DOI:10.1073/pnas.28.9.368.

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