Presentazione di un gruppo

In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elenco dei generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo, e delle relazioni tra i vari elementi. Indicando l'insieme dei generatori con $S$ e l'insieme delle relazioni con $R$ , la presentazione di un gruppo si indica con

\langle S\mid R\rangle .

Definizione

La definizione formale di una presentazione necessita di alcune definizioni preliminari, che vengono date nel seguito.

Parole

Consideriamo un insieme $I$ ; per ogni $x\in I$ definiamo un ulteriore elemento $x^{-1}$ ^[1]; una parola è qualunque prodotto formale finito

y_{1}y_{2}\ldots y_{n},

dove $y=x$ oppure $y=x^{-1}$ , con $x\in I$ . Definiamo anche la parola vuota come il prodotto formato da nessun fattore.

Una parola è detta ridotta se non esistono due elementi $x$ e $x^{-1}$ contigui. È sempre possibile ottenere una parola ridotta eliminando tali elementi contigui (ovvero sostituendoli con la parola vuota); due parole sono considerate equivalenti se generano la stessa parola ridotta. Possiamo inoltre utilizzare le seguenti scritture abbreviate:

{\begin{matrix}x^{n}&=&\underbrace {xx\ldots x} \\&&n{\mbox{ volte}}\\x^{-n}&=&\underbrace {x^{-1}x^{-1}\ldots x^{-1}} .\\&&n{\mbox{ volte}}\end{matrix}}

Gruppo libero

Definiamo come prodotto tra due parole ridotte la parola che si ottiene concatenando le due parole di partenza, e riducendo se necessario il risultato finale. L'insieme delle parole ridotte dotato di questa operazione è un gruppo chiamato gruppo libero sull'insieme $I$ e indicato con $\langle I\rangle$ . L'elemento neutro è la parola vuota, mentre l'inverso di una parola è ottenuto scrivendo i fattori in ordine inverso e scambiando il fattore $x$ con il fattore $x^{-1}$ e viceversa.

Presentazione di un gruppo

Consideriamo un insieme $S$ , il gruppo libero $\langle S\rangle$ e un sottoinsieme $R\subseteq \langle S\rangle$ formato da parole di $S$ . Il gruppo di presentazione $\langle S\mid R\rangle$ è definito come il più grande gruppo quoziente di $\langle S\rangle$ tale che ogni elemento di $R$ è identificato con l'identità.

Detto $N$ il più piccolo sottogruppo normale contenente $R$ (chiusura normale di $R$ ), si dimostra che:

\langle S\mid R\rangle ={\frac {\langle S\rangle }{N}}.

Gli elementi di $S$ sono detti generatori di $\langle S\mid R\rangle$ , gli elementi di $R$ sono detti relatori; questi elementi esprimono in effetti delle relazioni di uguaglianza tra gli elementi di $S$ , che nella loro forma più semplice possono essere espressi come $x=1$ , dove $x\in R$ e $1$ è l'identità di $\langle S\mid R\rangle$ .

Presentazioni finite

Una presentazione $\langle S\mid R\rangle$ è detta finitamente generata se l'insieme $S$ dei generatori è finito, finitamente relazionata se è finito l'insieme $R$ delle relazioni, finita se sono finiti sia $S$ che $R$ .

Ogni gruppo finito possiede una presentazione finita, che si ricava direttamente dalla sua tavola di composizione: è sufficiente prendere $S=G$ e $R$ come l'insieme formato da tutti gli elementi del tipo $g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}$ , dove $g_{i}g_{j}=g_{k}$ è una entrata della tavola di composizione.

Presentazione ricorsiva

Se $S$ è indicizzato da un insieme $I\subseteq \mathbb {N}$ , esiste una funzione biiettiva $f:\langle S\rangle \rightarrow \mathbb {N}$ e un algoritmo che, dato $f(w)\in \mathbb {N}$ permette di trovare $w\in \langle S\rangle$ e viceversa (numerazione di Gödel). Dato un insieme $U\subseteq \langle S\rangle$ , diciamo che $U$ è ricorsivo o ricorsivamente numerabile se lo è $f(U)\in \mathbb {N}$ .

Se l'insieme delle relazioni è ricorsivamente numerabile, la presentazione è detta ricorsiva; in questo caso è sempre possibile trovare una presentazione del gruppo per cui l'insieme delle relazioni è ricorsivo (giustificando la sovrapposizione delle due notazioni).

Ogni gruppo finito ha una presentazione ricorsiva, mentre non è vero l'inverso. Un teorema dovuto a Graham Higman stabilisce che un gruppo finitamente generato ha una presentazione ricorsiva se e solo se è immerso in un gruppo a presentazione ricorsiva. Segue che, a meno di isomorfismi, esiste solo una quantità numerabile di gruppi a presentazione ricorsiva. Bernhard Neumann ha mostrato che esiste una quantità più che numerabile di gruppi a due generatori; pertanto esistono gruppi finitamente generati che non possono essere presentati ricorsivamente.

Proprietà

Per le presentazioni di un gruppo valgono le seguenti proprietà:

ogni gruppo ha una presentazione;
ogni gruppo finito ha una presentazione finita;
in generale, esistono delle presentazioni per le quali nessun algoritmo è in grado di decidere se due parole descrivano lo stesso elemento del gruppo (problema delle parole);
dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $\langle S\mid R\rangle$ e $\langle T\mid Q\rangle$ , con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto libero $G\star H$ ha presentazione $\langle S,T\mid R,Q\rangle$ ;
dati due gruppi $G$ e $H$ di presentazioni $\langle S\mid R\rangle$ e $\langle T\mid Q\rangle$ , con $S$ e $T$ disgiunti, il prodotto diretto $G\times H$ ha presentazione $\langle S,T\mid R,Q,[S,T]\rangle$ ;

Esempi di presentazioni di gruppi

Nella tabella seguente sono riportate alcune presentazioni di gruppi di uso comune; molti di questi gruppi possiedono numerose altre possibili presentazioni che qui non sono riportate.

Gruppo	Presentazione	Note
Gruppo libero su $S$	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Un gruppo libero non è soggetto ad alcuna relazione tra i suoi elementi.
Gruppo libero abeliano su $S$	$\langle S\mid R\rangle$ , dove $R$ è l'insieme di tutti i commutatori di $S$ .
Gruppo simmetrico $S_{n}$	$\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}^{2},[\sigma _{i},\sigma _{j}],\sigma _{i}[\sigma _{i+1}\sigma _{i}]\sigma _{i+1}^{-1}\rangle$ , dove la seconda relazione vale per $j\neq i\pm 1$ .	La terza relazione si può sostituire con $(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}$ , utilizzando la prima relazione. $\sigma _{i}$ è la permutazione che scambia l'i-esimo elemento con l'i+1-esimo. Il prodotto $\sigma _{i}\sigma _{i+1}$ è un 3-ciclo sull'insieme $\{i,i+1,i+2\}$ .
Gruppo di trecce $B_{n}$	$\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid [\sigma _{i},\sigma _{j}],\sigma _{i}[\sigma _{i+1}\sigma _{i}]\sigma _{i+1}^{-1}\rangle$ , dove la prima relazione vale per $j\neq i\pm 1$ .	L'unica differenza con il gruppo simmetrico è la mancanza della relazione ${\sigma _{i}}^{2}=1$ .
$C_{n}$ , gruppo ciclico di ordine n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
$D_{2n}$ , gruppo diedrale di ordine n	$\langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle$	$r$ rappresenta una rotazione, $f$ una riflessione.
$D_{\infty }$ , gruppo diedrale infinito	$\langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle$
$Dic_{n}$ , gruppo diciclico	$\langle r,f\mid r^{2n},r^{n}f^{-2},frf^{-1}r\rangle$
Gruppo dei quaternioni $Q$	$\langle i,j\mid i^{4},i^{2}j^{2},ijij^{-1}\rangle$	Equivale al gruppo diciclico $Dic_{2}$ .
Il gruppo tetraedrale $T\cong A_{4}$	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un tetraedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo ottaedrale $O\cong S_{4}$	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un ottaedro che conservano l'orientamento.
Il gruppo icosaedrale $I\cong A_{5}$	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$	È il gruppo delle simmetrie di un icosaedro che conservano l'orientamento.
$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$	$\langle x,y\mid [x,y]\rangle$
$\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},[x,y]\rangle$

Note

^ È sempre possibile definire due elementi $(x,1)\in I\times \{-1,1\}$ e $(x,-1)\in I\times \{-1,1\}$ , che si identificano rispettivamente con $x$ e $x^{-1}$

Bibliografia

(EN) D. L. Johnson, Presentations of Groups. Cambridge, Cambridge University, 1990. ISBN 0-521-37824-9
(EN) H. S. M Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups. New York, Springer-Verlag, 1980. ISBN 0-387-09212-9