Alternativa di Tits
In matematica, l'alternativa di Tits, dal nome del matematico francese Jacques Tits che l'ha formulata e che ha contribuito a valergli la vittoria del Premio Abel 2008[1], è un teorema così definito in origine:
«Ogni gruppo lineare finitamente generato è virtualmente solubile oppure contiene una copia del gruppo libero su due generatori.»
Definizione formale
[modifica | modifica wikitesto]Il teorema, dimostrato dallo stesso Tits[2], asserisce quanto segue:
Sia un gruppo lineare finitamente generato su un campo commutativo. Si verificano allora le due possibilità seguenti:
Variante:[3]
|
Conseguenze
[modifica | modifica wikitesto]Un gruppo lineare non è amenabile se e solo se contiene un gruppo libero non abeliano (quindi la congettura di von Neumann, che non è vera in generale, lo è per i gruppi lineari).
L'alternativa di Tits è un ingrediente importante[4] nella dimostrazione del teorema di Gromov sui gruppi di crescita polinomiale. Infatti, l'alternativa stabilisce essenzialmente il risultato per i gruppi lineari (lo riduce al caso dei gruppi risolubili, che possono essere trattati con mezzi elementari).
Generalizzazione
[modifica | modifica wikitesto]Nella teoria geometrica dei gruppi, un gruppo si dice che soddisfa l'alternativa di Tits se per ogni sottogruppo di o è virtualmente risolubile o contiene un sottogruppo libero non abeliano (in alcune definizioni questa condizione è necessaria essere soddisfatta solo per tutti i sottogruppi di G finitamente generati).
Esempi di gruppi che soddisfano l'alternativa Tits che non sono lineari, o almeno non è noto se siano lineari:
- Gruppi iperbolici
- Mapping class group[5][6]
- Out(Fn)
- Certi gruppi di trasformazioni birazionali di superfici algebriche[7]
Esempi di gruppi che non soddisfano l'alternativa di Tits sono:
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]La dimostrazione dell'originale alternativa di Tits[2] si ricava osservando la chiusura Zariski di in . Se è risolubile allora il gruppo è risolubile. Altrimenti si guarda l'immagine di nel componente Levi. Se non è compatto allora un argomento ping-pong completa la dimostrazione.
Se è compatto allora o tutti gli autovalori degli elementi nell'immagine di sono radici dell'unità e quindi l'immagine è finita, oppure si può trovare un'inclusione di in cui applicare la strategia del ping-pong.
Si noti che anche la dimostrazione di tutte le generalizzazioni di cui sopra si basa sul lemma del ping-pong.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Sito ufficiale del Premio Abel (PDF) (archiviato dall'url originale il 15 ottobre 2009).
- ^ a b J. Tits, Free subgroups in linear groups, in Journal of Algebra, vol. 20, n. 2, 1972, pp. 250–270, DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.
- ^ John D. Dixon, THE TITS ALTERNATIVE, Carleton University, luglio 1988.
- ^ (FR) Jacques Tits, Groupes à croissance polynomiale, in Séminaire Bourbaki, vol. 1980/1981, 1981. URL consultato il 25 dicembre 2023 (archiviato dall'url originale il 15 agosto 2016).
- ^ Nikolai Ivanov, Algebraic properties of the Teichmüller modular group, in Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 275, 1984, pp. 786–789.
- ^ John McCarthy, A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups, in Trans. Amer. Math. Soc., vol. 291, 1985, pp. 583–612, DOI:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
- ^ (FR) Serge Cantat, Sur les groupes de transformations birationnelles des surfaces, in Ann. Math., vol. 174, 2011, pp. 299–340, DOI:10.4007/annals.2011.174.1.8.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- J. Tits, Free subgroups in linear groups, in Journal of Algebra, vol. 20, n. 2, 1972, pp. 250–270, DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.
- Mladen Bestvina, Feighn, Mark; Handel, Michael, The Tits alternative for Out(Fn) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms, in Annals of Mathematics, vol. 151, n. 2, 2000, pp. 517–623, DOI:10.2307/121043, JSTOR 121043, arXiv:math/9712217.
