Gruppo dei quaternioni

In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con $Q_{8}$) è il gruppo formato dagli otto elementi {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} caratteristici del corpo dei quaternioni. Essi sono legati dalle relazioni

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$

$ij=k,~ji=-k$

$ik=-j,~ki=j$

$jk=i,~kj=-i$

È ovviamente non abeliano e generato da due elementi distinti presi tra i, j e k; inoltre è il più piccolo gruppo non abeliano in cui tutti i sottogruppi sono normali (un gruppo di questo tipo è detto hamiltoniano), e il più piccolo gruppo non abeliano il cui ordine è la potenza di un primo. È anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo (quello col minor numero di elementi è il gruppo simmetrico $S_{3}$, con 6 elementi).

Tutti i suoi sottogruppi (diversi dal solo elemento neutro) si intersecano in modo non banale nel sottogruppo {1, -1}, che è anche il centro del gruppo. Questo implica che $Q_{8}$ non è né un prodotto diretto né un prodotto semidiretto di gruppi più piccoli.

Il gruppo degli automorfismi di $Q_{8}$ è il gruppo simmetrico $S_{4}$, mentre quello degli automorfismi interni è il gruppo di Klein.

Rappresentazione mediante matrici

Il gruppo dei quaternioni può anche essere visto come un sottogruppo di $\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ (cioè della matrici invertibili a valori complessi) tramite l'isomorfismo

$i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\qquad j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\qquad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$

Voci correlate

• Quaternione

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Quaternion Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Quaternion group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.