Primo associato

In matematica e in particolare in algebra astratta, un primo associato di un modulo $M$ su un anello $R$ è un ideale primo di $R$ che è un annichilatore di un sottomodulo (primo) di $M.$ L'insieme dei primi associati di $M$ è solitamente indicato con $\operatorname {Ass} _{R}(M),$

In algebra commutativa, i primi associati sono legati alla decomposizione primaria di Lasker-Noether di ideali in anelli noetheriani commutativi. Nello specifico, data la decomposizione di un ideale $J$ come intersezione finita di ideali primari, i radicali di questi ideali primari sono ideali primi e questo insieme di ideali primi coincide con $\operatorname {Ass} _{R}(R/J).$

Correlati al concetto di "primo associato" ci sono i concetti di primo isolato e primo immerso.

Definizioni

Un $R$-modulo non nullo $N$ è detto modulo primo se $\mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')$ per ogni sottomodulo non nullo $N'$ di $N.$ Per un modulo primo $N,$ l'annichilatore $\mathrm {Ann} _{R}(N)$ è un ideale primo di $R.$

Un primo associato di un $R$-modulo $M$ è un ideale della forma $\mathrm {Ann} _{R}(N)$ per qualche sottomodulo primo $N$ di $M.$ In algebra commutativa la definizione usuale è differente ma equivalente: se $R$ è commutativo, un primo associato $P$ di $M$ è un ideale primo della forma $\mathrm {Ann} _{R}(m)$ per qualche elemento non nullo $m$ di $M$ o, equivalentemente, $R/P$ è isomorfo a un sottomodulo di $M.$

In un anello commutativo $R,$ gli elementi minimali di $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ (rispetto alla relazione d'inclusione di insiemi) sono detti primi isolati e gli altri primi associati (cioè quelli che contengono propriamente un primo associato) sono detti primi immersi.

Un sottomodulo $N$ di $M$ è detto primario se per ogni $r\in R$ e $m\in M$ si ha che $m\notin N$ e $rm\in N$ implicano $r^{n}M\subset N$ per qualche intero positivo $n.$ Un modulo $M$ è detto coprimario se il sottomodulo $0$ è primario, cioè se per qualche elemento non nullo $m\in M$ si ha che $rm=0$ implica $r^{n}M=0$ per qualche intero positivo $n.$

Un modulo non nullo $M$ finitamente generato su un anello noetheriano commutativo è coprimario se e solo se ha un unico primo associato $P.$

Un sottomodulo $N$ di $M$ è detto $P$-primario se $\operatorname {Ass} _{R}(M/N)=\{P\}.$ Un ideale $I$ è un ideale $P$-primario se e solo se $\operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}.$ Quindi questa nozione è una generalizzazione di quella di ideale primario.

Esempi

• Se $R=\mathbb {C} [x,y,z,w],$ gli ideali primi associati di $I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))$ sono gli ideali $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})$ e $(z^{3}-w^{3}-3x^{3}).$
• Se $R=\mathbb {Z} ,$ allora i gruppi abeliani liberi non banali e i gruppi abeliani non banali di ordine una potenza di un primo sono coprimari.

Bibliografia

• (EN) Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1970.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960.
• (EN) Tsit-Yuen Lam, Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294.
• (FR) Bourbaki, Algèbre commutative, 1961.