Endomorfismo di Frobenius

In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che:

Se $A$ è un anello commutativo con caratteristica $p$, con $p$ numero primo, allora $(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$, per ogni $a$ e $b$ appartenenti ad $A$.

cioè che l'applicazione

$F(a)=a^{p}$

preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà $F(ab)=F(a)F(b)$ e $F(1)=1$, dunque si caratterizza come un endomorfismo di $A$ in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius.

Dimostrazione del teorema

Per il teorema binomiale vale che

$(a+b)_{}^{p}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}a^{p-k}b^{k}$

Ma se $0<k<p$, il coefficiente ${p \choose k}$ contiene il fattore $p$ e dunque in caratteristica $p$ è uguale a 0. Pertanto rimangono solo i termini finali dell'espansione, cioè $a^{p}$ e $b^{p}$.

Esempi

1. Sia $A$ un anello con caratteristica 2:

   $(3+2)^{2}=5^{2}=25$ e $3^{2}+2^{2}=9+4=13$

   Essendo un anello con caratteristica 2, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:

   $25\mod 2=13\mod 2=1$

2. Sia $A$ un anello con caratteristica 3:

   $(4+3)^{3}=7^{3}=343$ e $4^{3}+3^{3}=64+27=91$

   Essendo un anello con caratteristica 3, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:

   $343\mod 3=91\mod 3=1$