整数の素因数分解 整数 が素数であることは (1) ならば または であることと同値となります。素数全体の集合を とし、 を の絶対値とします。 とおくと となります。 に対して 、 と書くことにします。 (2) ならば は素数の積で表すことができます。 [証明] …

整数の素数の積への分解 を整域、 を の単項イデアル全体の集合とします。 で生成された単項イデアルを と書きます。 だけからなるイデアルを と書き、イデアル だけからなる集合を と書くことにします。 (E2) 、、 ならば (ユークリッド関数の条件(2)*1と同…

自由生成可換モノイド 可換モノイド (演算を と書きます)の部分集合 は以下の条件 (F1) を満たすとします。 (F1) 、、 ならば、任意の に対して が存在して、 となって、 から を除いたものを 、 から を除いたものを とすると、 となります。 可換モノイド …

整域の元の素元への分解の一意性 (1) 整域 の素元 に対して、 ならば、 となる が存在します。 [証明] となるので、これを繰り返すとある が存在して 以外のすべての に対して となるので主張が成り立ちます。[証明終わり] (2) 整域 の素元 に対して、 なら…

「半環上のフラクタル代数(5) - エレファント・コンピューティング調査報告」で環上のモノイド代数について説明しましたが、追加も含めて再び書いておきます。 環上のモノイド代数(の半環版) を単位元を持つ可換半環、 をモノイドとします。 とおきます。 に…

整域 の素元全体の集合を 、既約元全体の集合を とします。 によって( の乗法によって)生成されたモノイドを とおきます。 のイデアル全体の集合を とおきます。 を とします。 を と書きます。 に対して を と書きます。 のとき を一意分解整域と呼びます。…

エラトステネスのふるい(2) 整数の場合 次に「エラトステネスのふるい」の整数の場合を考えます。 を整数全体の集合とし、以下 とします。 を自然数全体の集合とし、 を を の絶対値に写す写像とします。 は となる が存在するとき の単元と呼びます。 の単…

エラトステネスのふるい(1) 一般の整域の場合 ここでは既約元の定義から「エラトステネスのふるい」を一般化したものを導くことを考えます。 を整域とします。 は となる が存在するとき の単元と呼びます。 の単元全体の集合を と書きます。 とおきます。 …

「群論の計算(20) - エレファント・コンピューティング調査報告」でも書いているのですが、整数の素数の説明を書くために、素イデアル、素元、既約元などの説明をまた書いておきます。 整域 を単位元を持つ自明ではない可換環とします。任意の に対して なら…

ユークリッド整域 を整域とします。 (1) (除法の原理) 、 とすると以下のような が存在する。 かつ または (2) 、、 ならば という2つの条件を満たす (ユークリッド関数)が存在するとき、 をユークリッド整域と呼びます(この定義はWikipediaによります*1 )。…

剰余類 に対して と定義します。 に対して と定義します。 に演算 を に対して と定義すると、 はアーベル群になります。この元を剰余類と呼びます。 とし を とします。 は群の準同型となります。 に対して とおきます。 のとき とすると となる が存在しま…

数学的帰納法の記法 数学的帰納法に関する計算を「」という書き方でやっています。「素因数分解の一意性」の証明をこの記法で行うことが目標となっています。このままの記法でできると思うのですが、できない場合は新しい記法を考えていきます。 可換な和、…