Cholesky 分解ノート æ¡‚ç”° ç¥å² 2008 å¹´ 6 月 9 æ—¥ 書ãã‹ã‘ã§ã‚る。 • ä¿®æ£ Cholesky 分解ã®ã‚³ãƒ¼ãƒ‰ • 帯行列ã®å ´åˆã®ã‚³ãƒ¼ãƒ‰ • Sylvester ã®æ…£æ€§å¾‹ã®ãã¡ã‚“ã¨ã—ãŸèª¬æ˜Ž ãªã©ã¯æ›¸ã„ã¦ãŠããŸã„。ãれ��
Cholesky 分解ノート æ¡‚ç”° ç¥å² 2008 å¹´ 6 月 9 æ—¥ 書ãã‹ã‘ã§ã‚る。 • ä¿®æ£ Cholesky 分解ã®ã‚³ãƒ¼ãƒ‰ • 帯行列ã®å ´åˆã®ã‚³ãƒ¼ãƒ‰ • Sylvester ã®æ…£æ€§å¾‹ã®ãã¡ã‚“ã¨ã—ãŸèª¬æ˜Ž ãªã©ã¯æ›¸ã„ã¦ãŠããŸã„。ãã‚Œã‹ã‚‰æœ€åˆã®ã†ã¡ã¯ä¸‹ä¸‰è§’å› å L を求ã‚るよã†ã«æ›¸ã„ã¦ãŠã„ãŸãŒã€ 実際ã«ã¯ä¸Šä¸‰è§’å› å U を求ã‚るよã†ã«ã—ã¦ã„るプãƒã‚°ãƒ©ãƒ ãŒå¤šã„ã®ã§ã€ã„ã£ãã®ã“ã¨ã€æœ€åˆ ã‹ã‚‰ U を求ã‚るよã†ãªèª¬æ˜Žã«ã—ã¦ãŠãã®ãŒè‰¯ã„ã‹ã‚‚ã—ã‚Œãªã„。 1 åº åºƒã„æ„味㮠コレスã‚ー, ホレスã‚ー Cholesky 分解ã¨ã¯ã€å¯¾ç§°è¡Œåˆ—ã«ç‰¹åŒ–ã—㟠LU 分解ã§ã‚る。 ã“ã®æ–‡æ›¸ã§ã¯è¡Œåˆ—ã¯å®Ÿè¡Œåˆ—ã§ã‚ã‚‹ã¨ã™ã‚‹ãŒã€è¤‡ç´ 行列ã®ç¯„囲ã§è€ƒãˆã‚‹ã“ã¨ã‚‚å¯èƒ½ã§ã‚ã‚‹ (転 ç½®ã®ä»£ã‚Šã« Hermite 共役ã€å®Ÿå¯¾ç§°ã®ä»£ã‚Šã« Hermite ã¨ã™ã‚‹ã‚ã‘ã§ã‚ã‚‹)。 æ£å‰‡è¡Œåˆ—ã® LU 分解ã¯ç·šåž‹è¨ˆç®—ã«ãŠã„ã¦é‡è¦ãªåŸºæœ¬æ“作ã§ã‚ã‚‹
ä¸å®Œå…¨ï¼¬ï¼µåˆ†è§£å‰å‡¦ç†ã¤ãåŒå…±å½¹å‹¾é…法ã«ã¤ã„ã¦ãŠã—ãˆã¦ãã ã•ã„。
連立方程å¼ã‚’解ããŸã‚ã«ä¸å®Œå…¨ï¼¬ï¼µåˆ†è§£å‰å‡¦ç†ã¤ãåŒå…±å½¹å‹¾é…法 ã«ã¤ã„ã¦å‹‰å¼·ã—ã¦ã„ã¾ã™ã€‚ å‰å‡¦ç†ã®éš›ã«ã€è¡Œåˆ—Ａをä¸å®Œå…¨ï¼¬ï¼µåˆ†è§£ã—ãã®é€†è¡Œåˆ—(LU)^(-1)ã¨ã„ã†ã®ã‚’使用ã—ã¾ã™ã€‚LU分解ã¾ã§ã¯ã§ããŸã®ã§ã™ãŒã€ã“ã®é€†è¡Œåˆ—ã¯æ™®é€šã«ï¼¬ï¼µåˆ†è§£ï¼‹ç›´æŽ¥æ³•ã¨ã„ã†å½¢ã§ã‚‚ã¨ã‚ã‚‹ã®ã§ã—ょã†ã‹ã€‚ã ã¨ã—ãŸã‚‰ã€ç›´æŽ¥æ³•ã‚’ã¤ã‹ã£ã¦ã„ã¦ã‚ã¾ã‚Šé«˜é€ŸåŒ–ãŒæœŸå¾…ã§ããªã„様ãªæ°—ãŒã—ã¾ã—ãŸã€‚ ä¸å®Œå…¨ã‚³ãƒ¬ã‚¹ã‚ー分解ã¤ã共役勾é…法(ICCG)ã®ã¨ãã¯ã€ä¸å®Œå…¨ã‚³ãƒ¬ã‚¹ã‚ー分解後ã€é–“接的ã«Aã®é€†è¡Œåˆ—ã‚’ã‚‚ã¨ã‚ã¦ä½¿ç”¨ã™ã‚‹æ–¹æ³•ãŒã‚ã‚Šã¾ã—ãŸã®ã§ãªã«ã‹ã„ã„方法ãŒã‚ã‚‹ã®ã‹ã¨æ€ã„質å•ã—ã¾ã—ãŸã€‚ ã¯ã˜ã‚ã¦ã®ãƒ—ãƒã‚°ãƒ©ãƒŸãƒ³ã‚°ã§è¦‹å½“é•ã„ãªã“ã¨ã‚’ã„ã£ã¦ã„ã‚‹ã‹ã‚‚ã—ã‚Œã¾ã›ã‚“ãŒã‚ˆã‚ã—ããŠããŒã„ã—ã¾ã™ã€‚
共役勾é…法 - Wikipedia
線型方程å¼ã®äºŒæ¬¡å½¢å¼ã‚’最å°åŒ–ã™ã‚‹ãŸã‚ã®ã€æœ€é©ãªã‚¹ãƒ†ãƒƒãƒ—サイズã«ã‚ˆã‚‹æœ€æ€¥é™ä¸‹æ³•ï¼ˆç·‘）ã®åŽæŸã¨å…±å½¹å‹¾é…法（赤）ã®åŽæŸã®æ¯”較。共役勾é…法ã¯ã€åŽ³å¯†ã«ã¯n次ã®ä¿‚数行列ã«å¯¾ã—ã¦é«˜ã€…nステップã§åŽæŸã™ã‚‹ï¼ˆã“ã“ã§ã¯n=2）。 共役勾é…法（ãょã†ã‚„ãã“ã†ã°ã„ã»ã†ã€è‹±: conjugate gradient methodã€CG法ã¨ã‚‚呼ã°ã‚Œã‚‹ï¼‰ã¯å¯¾ç§°æ£å®šå€¤è¡Œåˆ—ã‚’ä¿‚æ•°ã¨ã™ã‚‹é€£ç«‹ä¸€æ¬¡æ–¹ç¨‹å¼ã‚’解ããŸã‚ã®ã‚¢ãƒ«ã‚´ãƒªã‚ºãƒ ã§ã‚ã‚‹[1][2][3][4]。å復法ã¨ã—ã¦åˆ©ç”¨ã•ã‚Œ[1][2][3][4]ã€ã‚³ãƒ¬ã‚¹ã‚ー分解ã®ã‚ˆã†ãªç›´æŽ¥æ³•ã§ã¯å¤§ãã™ãŽã¦å–り扱ãˆãªã„ã€å¤§è¦æ¨¡ãªç–Žè¡Œåˆ—を解ããŸã‚ã«åˆ©ç”¨ã•ã‚Œã‚‹ã€‚ãã®ã‚ˆã†ãªå•é¡Œã¯å微分方程å¼ãªã©ã‚’数値的ã«è§£ãéš›ã«å¸¸ã«ç¾ã‚Œã‚‹[1][5][6][7]。 共役勾é…法ã¯ã€ã‚¨ãƒãƒ«ã‚®ãƒ¼æœ€å°åŒ–ãªã©ã®æœ€é©åŒ–å•é¡Œã‚’解ããŸã‚ã«ç”¨ã„ã‚‹ã“ã¨ã‚‚ã§ãã‚‹[8][9][10]。 åŒå…±å½¹å‹¾é…法（英語版）ã¯ã€å…±å½¹å‹¾é…法ã®éžå¯¾ç§°å•é¡Œã¸
Conjugate Gradient (CG)
æ¦‚è¦ CG法(Conjugate Gradient Methods)ã¯M.R.Hestenesã¨E.Stiefelã«ã‚ˆã£ã¦1952å¹´ã«æ案ã•ã‚ŒãŸæ–¹æ³•ã§ã‚ã‚‹[1]。 CG法ã¯æ£å®šå€¤å¯¾ç§°è¡Œåˆ—ã«å¯¾ã—ã¦ä½¿ã‚れる連立一次方程å¼ã‚’å復法ã§è§£ããŸã‚ã®æ‰‹æ³•ã§ã‚る。 行列ã®æ£å€¤å¯¾ç§°æ€§ ベクトルã®å†…ç©ã‚’ã®ã‚ˆã†ã«æ›¸ã。 実行列ãŒæ£å®šå€¤å¯¾ç§°ã¨ã¯ã€ ã¨ã„ã†ã“ã¨ã§ã‚ã‚Šã€ãŒå¯¾ç§°ã§ã‚ã‚‹ã¨ã„ã†ã“ã¨ã¯ã€ ãŒæˆã‚Šç«‹ã¤ã¨ã„ã†ã“ã¨ã§ã‚る。 ＣＧ法ã®åŸºæœ¬åŽŸç† 今ã€æ¬¡ã®ã‚ˆã†ãªç·šå½¢åŒæ¬¡æ–¹ç¨‹å¼ã‚’解ãã¨ã™ã‚‹ã€‚ CG法ã¯å›žç›®ã®å復ã«ãŠã„ã¦ã€æ¬¡ã®ã‚ˆã†ã«ã“ã®æ–¹ç¨‹å¼ã®è§£ã‚„誤差を用ã„ã¦å®šç¾©ã•ã‚Œã‚‹èª¤å·®ã®ãƒŽãƒ«ãƒ (ç‰å·æˆç«‹ã¯ã®ã¨ã) を最å°åŒ–ã™ã‚‹ã‚ˆã†ãªè¿‘似解を部分空間ã®ä¸ã‹ã‚‰è¦‹ã¤ã‘る方法ã§ã‚る。但ã—ã€ã¯ã‚¯ãƒªãƒãƒ•éƒ¨åˆ†ç©ºé–“(Krylov Subspace)ã§ã‚る。 ã¤ã¾ã‚ŠCG法ã¯æ¬¡ã®ã‚ˆã†ãªé€£ç«‹ä¸€æ¬¡æ–¹ç¨‹å¼ã®è¿‘似解を探ã™ãŸã‚ã®æ–¹æ³•ã§ã‚る。 ã“ã®ã‚ˆã†ã«éƒ¨åˆ†ç©ºé–“ã®ä¸
Preconditioned CG Method
å‰å‡¦ç†ã¤ãCG法(PCG法) å‰ç¯€ã§ã¯CG法ã®åŽæŸãŒè¡Œåˆ—ã®å›ºæœ‰å€¤åˆ†å¸ƒã«å¼·ãä¾å˜ã™ã‚‹ã“ã¨ãŒåˆ†ã‹ã£ãŸã€‚ ã“ã“ã§ã€è§£ãã¹ã方程å¼ã‚’行列を使ã£ã¦æ¬¡ã®ã‚ˆã†ã«å¤‰å½¢ã§ããŸã¨ã™ã‚‹ã€‚ 但ã—ã€ã€ã€ã§ã‚る。ã“ã“ã§ã€ã¯ç‰¹ç•°ã§ãªã„行列ã§ã‚る。 ãŒæ£å®šå€¤å¯¾ç§°ã®å ´åˆã€ã‚‚æ£å®šå€¤å¯¾ç§°ã¨ãªã‚‹ã€‚ãã“ã§é€£ç«‹ä¸€æ¬¡æ–¹ç¨‹å¼ã«CG法をé©å¿œã™ã‚‹ã“ã¨ã‚’考ãˆã‚‹ã€‚ ã‚‚ã—ã‚‚ã€ãŒã‚ˆã‚Šã‚‚æ¡ä»¶æ•°ãŒå°ã•ã„よã†ãªã‚ˆã„固有値ã®åˆ†å¸ƒã‚’ã—ã¦ã„ã‚‹ã¨ã™ã‚‹ã¨ã€ã‚ˆã‚Šæ—©ã解を求ã‚ã‚‹ã“ã¨ãŒã§ãã‚‹ã“ã¨ãŒåˆ†ã‹ã‚‹ã€‚ ã“ã“ã§è¡Œåˆ—ã¨ãŠã。以下ã€è¡Œåˆ—ã€ã‚„を用ã„ã‚‹ã“ã¨ãªãã€ã®é€†è¡Œåˆ—ã®ã¿ã‚’用ã„ã¦ã€é€£ç«‹ä¸€æ¬¡æ–¹ç¨‹å¼ã«CG法をé©å¿œã—ã¦ã„ã‚‹ã®ã¨åŒä¸€ã«ãªã‚‹ã‚ˆã†ã«CG法ã®ã‚¢ãƒ«ã‚´ãƒªã‚ºãƒ を書ãç›´ã™ã€‚ ã®æ™‚ã€ã¨ãªã‚Šã€å¤‰å½¢ã—ãŸé€£ç«‹ä¸€æ¬¡æ–¹ç¨‹å¼ã¯è§£ã‹ãšã¨ã‚‚解ãŒæ±‚ã‚られる。 連立一次方程å¼ã«CG法ã—ãŸéš›ã®æ®‹å·®ã€æŽ¢ç´¢æ–¹å‘ベクトルã¨ã™ã‚‹ã€‚ よã£ã¦ã€ã€ã¨ãŠãã¨ã€CG法ã®ä¿‚æ•°ã¯æ¬¡ã®ã‚ˆã†ã«è¡¨ã™ã“ã¨ãŒã§ãる。 CG法ã®é–¢ä¿‚å¼ã‹
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Incomplete LU factorization - ILU -- CFD-Wiki, the free CFD reference
http://emperor.yz.yamagata-u.ac.jp/pdf_dir/cholesky.pdf
ç”»åƒè¨ˆæ¸¬ç ”究会(ABE)
http://phase.hpcc.jp/la/SLIDES/9801-tatebe3/sld012.htm
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