「Google Waveを使わないと人生損する」…これはちょっと大げさかもしれないが、1年半前に書いたブログ記事「Evernoteを使わないと人生損する」で言及したEvernoteと同じぐらい、Google Waveが重要な技術になると感じたのは本当だ。当初、Google Waveは自分にとって、Google App Engine (GAE)などでプログラミングできる単なるおもちゃだった。しかしながら、今になってやっと、オンラインコラボレーションプラットフォームであるGoogle Waveの潜在能力の高さを知ることになった。 大量のメールに埋もれる情報と予定の立たないミーティング 最近、仕事上のメールのやりとりが頻繁ですぐに流されてしまうことが多く、大事な知らせを失念してしまったり、大量のメールから目的の情報を探し出さなくてはならなくなったりと、メールの扱いに手を焼いていた。さらに、直接顔

すげーぜ！ミラー・ラビン フェルマーテストによって、高確率で素数判定が出来るようになりましたが、もうちょっと確率の高い判定法があります。 ミラー・ラビン（とかラビン・ミラー）判定法と呼ばれる方法を使うと、同じくらいの時間で、誤判定をさらに減らすことが出来ます。 nが素数かどうかを判定するために、フェルマーテストでは a^n mod n ≡ aが成り立つかどうかを調べました。 ミラー・ラビンテストでは、n(奇数に限る)を使って、以下のように行います。 (1)n-1は偶数なので、 n-1 = 2^k * qの形に変形できます。 (2)(1)で求めたqを使って、 a^q mod n ≡ 1かどうかを調べます。これが成り立つ場合、nが素数である可能性が非常に高いと言えます。 (3)(2)が成り立たない場合は、kより小さいi{0,1,2,...,k-1}について、 (a^q)^(2^i) mod n

試し割の効果 最初に書いたプログラムは、あまり速くはありませんでした。理由は、大きな素数が現れた場合に4千回以上も試し割りをしなければならないからです。プログラムを実行した結果、判定する33,333,333個の整数の中に、素数は3,260,532個でありました。全体の約9.8%と、それほど多くはありません。 素数でない数の中で、3の倍数は11,111,106個もあり、これは全体の約33.3%に相当します。結構たくさんありますね。 フェルマーテストやミラー・ラビンテストを行う場合でも、数十回の割り算が必要になります。それなら、小さな素数での試し割は、篩い落とせる量を考えれば、十分役立ちそうです。 どれぐらい篩い落とせるか 今回扱う問題は、奇数しか出てこないので、3,5,7,...と、3から順に試し割をして篩い落とせる値の数を数えてみました。 ある程度大きな素数になると、篩い落とせる値がグッと

フェルマーテストの実装 まずは、基数を色々変えられる一般的なものを書いてみます。 /* a^n mod n を求める */ unsigned int mpow(unsigned int a, unsigned int n) { unsigned int buf[32]={0}; /* a^(2^k) mod n を保持 */ unsigned int ans=1, r=n; int k=0; buf[0]=a; /* a^(2^0)==a */ for(k=1; (1<<k)<n; ++k) { buf[k] = ( (unsigned long long)buf[k-1] * buf[k-1] ) % n; assert(k<32); } for(; k>=0; --k) { if( (1<<k)<=r ) { ans = ( (unsigned long long)ans * buf[

フェルマーの小定理 フェルマーの小定理という、素数判定には欠かせない定理があります。 3,5,7,11という素数を使って、以下のような計算をしてみます。 2^ 3 = 8, 8 / 3 = 2 余り2 2^ 5 = 32, 32 / 5 = 6 余り2 2^ 7 = 128, 128 / 7 = 18 余り2 2^11 =2048, 2048 /11 = 186 余り2 2を3乗して、それを3で割ると、あまりが2になります。2を5乗して5で割っても、あまりは2になります。7,11,13,17,…と、素数を使ってこの計算をすると、必ず2になるのです。今、2という数字を使いましたが、他の数ではどうでしょうか？ 3^ 3 = 27, 27 / 3 = 9 余り0 3^ 5 = 243, 243 / 5 = 48 余り3 3^ 7 = 2187, 2187 / 7 = 312 余り3 3^11 =

はじめに 素数の問題は小学生くらいの知識であっても取り組むことが出来る。しかし奥深さは世界の天才数学者をも悩ませる。 ドイツが生んだ大数学者ガウスは言った。 「素数は数学のょぅι゛ょであるﾊｧﾊｧ」 うそ。言ってない。それはさておき、コンピュータと素数に魅了されてしまった私(と素敵な素数野郎たち)が、2年以上の歳月をかけて悩み・戦い・築き上げたシュゴー（゜Д゜）なテクニックを惜しげもなく晒し、素数初心者・プログラミング初級者にもできるだけわかりやすく解説した「素数マスターへの道」を、突然ではありますが連載したいと思う次第でございます。ょぅι゛ょは出てきません。 前置きはいいから さて、何をするのかというと、以下のサイト http://www.spoj.pl/problems/PRIC/ にある問題に対して正しい答えを出力する、超高速なプログラムを作ろう！というのが主旨です。 「Prime

This is the source code repository for RE2, a regular expression library. For documentation about how to install and use RE2, visit https://github.com/google/re2/. The short version is: make make test make install make testinstall Building RE2 requires Abseil (https://github.com/abseil/abseil-cpp) to be installed on your system. Building the testing for RE2 requires GoogleTest (https://github.com/