推移性の緩和とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 16:47 UTC 版)

「アローの不可能性定理」の記事における「推移性の緩和」の解説

社会的選好の推移性を緩和することにより、アローの他の条件を満たす独裁的でない選好集計ルールが存在することが知られている。しかしそれらの関数に中立性 (選択肢を平等に扱う条件) を課すと「拒否権」を持つ個人が存在するため、このアプローチによる解決の効果も限定的である。まず社会的選好が推移的であるという要求を弱めて、「半推移的である」 (「より望ましい」を表す強選好 ≻ {\displaystyle \succ } が推移的であること: x ≻ y {\displaystyle x\succ y} かつ y ≻ z {\displaystyle y\succ z} ならば x ≻ z {\displaystyle x\succ z} となる)ことをだけを要求すれば、たしかに独裁者のいない選好集計ルールは存在するが、そのような関数では「寡頭制」(oligarchy) が生じる (Gibbard, 1969)。すなわちある提携 L が存在し、L 自体は「決定力を持ち」(decisive; L のメンバー全てが x を y より好めば社会的選好で x が y より望ましくなる)、L のメンバー1人1人が「拒否権を持つ」 (彼が x を y より好めば、社会的選好で y が x より望ましくなることを阻止できる)。社会的選好が推移的であるという要求を弱めて、「非循環的である」(次のような循環を生じる選択肢 x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}} が存在しない: x 1 ≻ x 2 {\displaystyle x_{1}\succ x_{2}} , x 2 ≻ x 3 {\displaystyle x_{2}\succ x_{3}} , … {\displaystyle \ldots } , x k − 1 ≻ x k {\displaystyle x_{k-1}\succ x_{k}} , x k ≻ x 1 {\displaystyle x_{k}\succ x_{1}} )ことをだけを要求すれば、選択肢数が個人の人数以上という制約の下では、「合議政体」(collegium) が生じる(Brown,1975)。すなわち決定力を持つようなすべての提携の共通部分 ("collegium") に属するような個人が存在する。もし拒否権を持つ個人がいればこの共通部分に属する。さらに中立性を要求すれば拒否権を持つ個人は実際に存在する。Brown の定理で空白とされた選択肢数が個人の数未満で非循環性だけを仮定したケースについては、中村ナンバーが決定的な役割を持つ。「選択肢の数の制限」の項目を参照。

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