微小正準変換とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 08:54 UTC 版)

「正準変換」の記事における「微小正準変換」の解説

正準変数(q, p)を微小変化させる微小正準変換 Q i = q i + δ q i ( q , p , t ) {\displaystyle Q_{i}=q_{i}+\delta q_{i}(q,p,t)} P i = p i + δ p i ( q , p , t ) ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=p_{i}+\delta p_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)} の母関数は、恒等変換を与える母関数にεG(q, P, t)を加えた W 2 ( q , P ) = ∑ i = 1 n q i P i + ϵ G ( q , P , t ) {\displaystyle W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}+\epsilon G(q,P,t)} の形で与えられる。但し、εは微小定数、 G(q, P, t)は任意の関数である。 このとき、微小変化(δq, δp)は δ q i ( q , p , t ) = ϵ ∂ G ( q , p , t ) ∂ p i {\displaystyle \delta q_{i}(q,p,t)=\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial p_{i}}}} δ p i ( q , p , t ) = − ϵ ∂ G ( q , p , t ) ∂ q i {\displaystyle \delta p_{i}(q,p,t)=-\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial q_{i}}}} となる。任意の力学量F(q, p, t)に対し、微小正準変換に対する変化 δ F = F ( q + δ q , p + δ p , t ) − F ( q , p , t ) {\displaystyle \delta F=F(q+\delta q,p+\delta p,t)-F(q,p,t)} は、ポアソン括弧を用いて、 δ F = ϵ { F , G } p , q {\displaystyle \delta F=\epsilon \{F,G\}_{p,q}} で与えられる。

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