正準変換とは？ わかりやすく解説

ハミルトン形式の解析力学において、正準変換（せいじゅんへんかん、英: canonical transformation）とは、正準変数を新たなハミルトンの運動方程式を満たす新しい正準変数に写す変数変換。正準変換の下では、正準変数である一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合うことができ、等価な役割を果たす。また、正準変換はポアソン括弧を不変に保つ性質を持つ。幾何学的な観点からは、相空間をシンプレクティック多様体として見做した場合、基本 2形式を保つシンプレクティック同相写像に対応する。

ハミルトン力学では、一般化座標q_i (i=1,..,n)と対応する一般化運動量p_i (i=1,..,n)の組からなる、正準変数(q, p) = (q₁,..., q_n ; p₁,..., p_n) が独立な変数となる。

相空間上の運動は、正準変数と時間tの関数であるハミルトニアンH(q, p, t)を用いて、ハミルトンの運動方程式

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}}$