実数化とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/17 00:30 UTC 版)

「有理化」の記事における「実数化」の解説

Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } を実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } にとりかえ、d = −1 としてみよう。 C = R ( − 1 ) = { a + b − 1 ∣ a , b ∈ R } {\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})=\{a+b{\sqrt {-1}}\mid a,b\in \mathbb {R} \}} （ここで、 − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} は虚数単位のことである。）であって、各元（つまり複素数） α = a + b − 1 {\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {-1}}} の C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } に関する共役元とは、共役複素数 a − b − 1 {\displaystyle a-b{\sqrt {-1}}} のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると N ( α ) = α α ¯ = ( a + b − 1 ) ( a − b − 1 ) = a 2 + b 2 {\displaystyle N(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=(a+b{\sqrt {-1}})(a-b{\sqrt {-1}})=a^{2}+b^{2}} は R {\displaystyle \mathbb {R} } に属する。したがってたとえば、 1 2 + − 1 = 1 ( 2 − − 1 ) ( 2 + − 1 ) ( 2 − − 1 ) = 2 − − 1 4 + 1 = 2 − − 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{2+{\sqrt {-1}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {-1}})}{(2+{\sqrt {-1}})(2-{\sqrt {-1}})}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{4+1}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{5}}} などの変形が可能である。このような変形を（分母の）実数化ということがある。

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