sqrtとは？ わかりやすく解説

もう一枚のガウス平面上の平方根函数。こちらもやはり原点を正の方向に回ると、実軸の負の部分を境に最初のガウス平面に帰る（紫→紫）。

原点付近での平方根函数のリーマン面（2つのガウス平面を張り合わせたときの様子）
平方根関数 Re z^1/2
ここで、z は複素数。

一般に、正方行列 A に対して、X² =A を満たす正方行列 X を A の平方根行列と呼び^[3]、記号で √A あるいは A^1⁄2 と表す。平方根行列は存在するとは限らず、存在しても1つだけの場合や複数個の場合、無限個存在する場合がある。例えば、二次単位行列 I₂ は無数の平方根を持つ^[4]。ただしその中で正定値となるのはただ一つ I₂ 自身である。

また、半正定値複素（resp. 実）正方行列 A に対して、A = BB*（あるいは A = B*B. ここに ∗ はエルミート共軛）を満たす（正方とは限らない）任意の行列 B をしばしば、 A の非エルミート (resp. 非対称) 平方根 (non-Hermitian (resp. symmetric) square root)^[5] と呼ぶ（とくに適当な三角行列となるときコレスキー因子 (Cholesky factor)^[6]とも呼ぶ）。B がそれ自身エルミート（実係数の場合は対称）ならば、これは上で述べた平方根の概念と一致する。任意の正定値エルミート行列 P に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)^[7]と呼ぶが、しばしば記号 √P や P^1/2 は専ら主平方根を表すために予約される^[8]ことに注意すべきである。また、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ行列を掛ける分の不定性を持つ^[9]が、これは正実数の場合に、（正値の主平方根が一意に決まること、および）主平方根に ±1 を掛けたものがその平方根のすべてであることと対応している。

このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関するスペクトル論（固有値分解）や特異値分解あるいはコレスキー分解などが利用できる^[10][11][12]。

（可換）整域の各元が二つより多くの平方根を持つことはない。実際、乗法の可換性により二平方数の差の公式（英語版） u² − v² = (u − v)(u + v) が成り立つことに注意すれば、u, v が同じ元の平方根であるとき u² − v² = 0, ゆえに零因子を持たないことから u = v または u + v = 0 であることが従う。後者は、二つの平方根が互いに加法逆元の関係にあることを言っているのだから、すなわち一つの元の平方根は（存在すれば）符号の違いを除いて一意である。特に、整域において零元 0 の平方根は 0 自身のみである。

標数 2 の可換体において、各元の平方根は一つ持つ（各元が自身を加法逆元にもつことに注意せよ）か、全く持たないかの何れかとなる（標数 2 の有限体においては任意の元が一意な平方根を持つ）。それ以外の任意の標数の体においては、先の段落のとおり任意の非零元が二つの平方根を持つか全く持たないかの何れかとなる。

奇素数 p と適当な正整数 e に対し q = p^e と置く。q-元体 F_q の非零元が平方剰余であるとは、その平方根が F_q に属することを言い、さもなくば平方非剰余であるという。この体において (q − 1)/2 個の元が平方剰余であり、(q − 1)/2 個が非剰余である（零元はいずれのクラスにも属さないことに注意）。平方剰余元の全体は乗法に関して群を成す。この性質は代数的整数論において広く用いられる。

一般の環において、a の平方根 b を b² = a のことと定めるならば、一般には平方根は符号を除いて一意とは限らない。

たとえば合同類環 Z/8Z を考えれば、この環において単位元 1 は相異なる四つの平方根を持つ（具体的には ±1, ±3）。他方、元 2 は平方根を持たない。詳細は平方剰余の項を参照されたい。

他の例として四元数体 H において、−1 は ±i, ±j, ±k を含む無数の平方根を持つ。実は −1 の平方根の全体はちょうど集合

${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}}$