不変量とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 14:37 UTC 版)

「一般相対性理論の数学」の記事における「不変量」の解説

一般相対性理論の主要な特徴のひとつは、（座標系による）物理法則の不変性という考え方である。この不変性はいろいろなやりかた、例えば、局所ローレンツ共変（英語版）(local Lorentz covariance) や一般相対性原理や微分同相共変性 (diffeomorphism covariance)で記述できる。 より明確な記述はテンソルを用いることで可能となる。このアプローチで用いられるテンソルの重要な特徴は、（ひとたび計量が与えられたとすれば）階数（ランク）がR のテンソルのすべての添字を縮約すると不変量と呼ばれる数値（スカラー）が得られて、この不変量は縮約に使った座標チャートには無関係になるという事実である。このことは物理的には、（異なる座標系にある）2人の観測者が不変量を計算すると、同じ数値が得られる、したがって不変量は観測者とは無関係の意味を持っていることを意味する。一般相対性理論に於いて重要な不変量としては次のものがある。 リッチスカラー: R = R a b g a b {\displaystyle \scriptstyle R\;=\;R^{ab}g_{ab}} クレッツェマンスカラー（英語版）(Kretschmann scalar): K = R a b c d R a b c d {\displaystyle \scriptstyle K\;=\;R^{abcd}R_{abcd}} 相対性理論での不変量の他の例は、電磁不変量（英語版）(electromagnetic invariants) や、他にも様々な曲率不変量（英語版）(curvature invariants) があり、後者としては重力エントロピー（英語版）(gravitational entropy) やワイル曲率仮設（英語版）(Weyl curvature hypothesis) の研究における応用の探索がある。

※この「不変量」の解説は、「一般相対性理論の数学」の解説の一部です。
「不変量」を含む「一般相対性理論の数学」の記事については、「一般相対性理論の数学」の概要を参照ください。