階数とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 18:40 UTC 版)

「付値」の記事における「階数」の解説

加法付値 v の付値環の Krull-次元を v の階数という。つまり、加法付値 v の付値環 Rv 上の素イデアル p 1 , … ,   p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{n}} が存在して R v ⊋ p 1 ⊋ ⋯ ⊋ p n ⊋ ( 0 ) {\displaystyle R_{v}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\supsetneq (0)} が成立するような n の最大値を階数という。階数は必ずしも有限とは限らない。例えば、先に挙げた加法付値の例9. の階数は ∞ である。また、任意の正整数 n に対して、例8. の階数は n であり、自明な加法付値は 0 である。 自明ではない加法付値の階数は 1 以上であり、特に指数付値の階数は 1 である。より一般に、値群が実数の 0 ではない加法部分群と順序同型であるならば、階数は 1 であり、逆に階数が 1 である加法付値の値群は実数の加法部分群と順序同型である。 体 K の加法付値 v の階数は次の様に言い換えることができる。 階数とは、v の付値環を含む K と異なる K の部分環の個数である。 階数とは、v の値群を G とし、G の部分群 H で0 ≤ y ≤ x を満たす G の元 x, y に対し、x が H の元であれば、y も H の元である という条件を満たすものの個数である。

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