補題の主張とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:41 UTC 版)

「ガウスの補題 (数論)」の記事における「補題の主張」の解説

任意の奇素数 p に対して、a を p と互いに素な整数とする。 整数 a , 2 a , 3 a , … , p − 1 2 a {\displaystyle a,\,2a,\,3a,\,\dots ,\,{\frac {p-1}{2}}a} と、それらを p で割った（正の）余りを考える。（これらの余りはすべて相異なるので、全部で (p − 1)/2 個ある。） その余りが p/2 よりも大きいものの個数を n とする。このとき ( a p ) = ( − 1 ) n {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n}} となる。ただし ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} はルジャンドル記号である。

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「中山の補題」の記事における「補題の主張」の解説

R を単位元 1 をもった可換環とする。Matsumura (1989) で述べられているように、以下が中山の補題である。 主張 1： I を R のイデアルとし、M を R 上有限生成加群とする。IM = M であれば、r ≡ 1 (mod I) であるような r ∈ R が存在して、rM = 0 となる。 これは以下で証明される。 この系である次もまた中山の補題と呼ばれ、最もよく現れるのはこの形においてである。 主張 2： M が R 上有限生成加群で、J(R) が R のジャコブソン根基で、J(R)M = M とすると、M = 0 である。 証明：（上記の様な r に対し）r − 1 はジャコブソン根基に入るので r は可逆である。 より一般的に、次が成り立つ。 主張 3： M が R 上加群で、N が M の部分加群であり、M = N + J(R)M 、M/NがR 上有限生成加群であれば、M = N である。 証明： 主張 2 を M/N に適用する。 次の結果は生成元の言葉で中山の補題を述べている。 主張 4： M が R 上有限生成加群であり、M の元 m1, ..., mn の M/J(R)M における像が M/J(R)M を R-加群として生成すれば、m1, ..., mn は M を R-加群として生成する。 証明： 主張 3 を N = ΣiRmi に適用する。 最後の系の結論は、前もって M が有限生成であると仮定しなくても、I-進位相について M が完備かつ分離加群であると仮定すれば、成り立つ。ここで分離性は I-進位相がT1分離公理を満たすことを意味する。これは ⋂ k = 1 ∞ I k M = 0 {\displaystyle \textstyle {\bigcap _{k=1}^{\infty }I^{k}M=0}} と同値である。

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「マズールの補題」の記事における「補題の主張」の解説

(X, || ||) をバナッハ空間とし、 (un)n∈N はある X の要素 u0 に弱収束する X の要素の列とする: u n ⇀ u 0  as  n → ∞ {\displaystyle u_{n}\rightharpoonup u_{0}{\mbox{ as }}n\to \infty } つまり、X∗（ X の双対ベクトル空間）に属する任意の連続線形作用素 f に対し f ( u n ) → f ( u 0 )  as  n → ∞ {\displaystyle f(u_{n})\to f(u_{0}){\mbox{ as }}n\to \infty } であるとする。 このとき、ある関数 N : N → N と実数の有限集合の列 { α ( n ) k | k = n , … , N ( n ) } ,   n = 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle \{\alpha (n)_{k}|k=n,\dots ,N(n)\},\ n=1,2,3,\cdots } α ( n ) k ≥ 0 ,   ∑ k = n N ( n ) α ( n ) k = 1 {\displaystyle \alpha (n)_{k}\geq 0,\ \sum _{k=n}^{N(n)}\alpha (n)_{k}=1} が存在して、凸結合 v n = ∑ k = n N ( n ) α ( n ) k u k {\displaystyle v_{n}=\sum _{k=n}^{N(n)}\alpha (n)_{k}u_{k}} で定義された X の要素の列 (vn)n∈N が u0 に強収束する、つまり ‖ v n − u 0 ‖ → 0  as  n → ∞ {\displaystyle \|v_{n}-u_{0}\|\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty } となるようにできる。

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「アルティン・リースの補題」の記事における「補題の主張」の解説

I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して I n M ∩ N = I n − k ( I k M ∩ N ) {\displaystyle I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N)} が成り立つ。

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