平方数とは？ わかりやすく解説

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平方数（へいほうすう、（英: square number）とは、整数の自乗（二乗）で表される数である。平方数は図形数の特に多角数の一種であり、正方形をなすように等間隔に点を配列した際の点の個数に対応している。 四角数（しかくすう）、正方形数（せいほうけいすう）とも呼ばれる。

平方数の概念は有理数など整数以外の数に一般化できる（#一般化を参照）。

整数は無数に存在するため、平方数もまた無数に存在する。平方数の最初の数個は以下の通り（オンライン整数列大辞典の数列 A290）：

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,

100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361,

400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, …

• （正の）約数の個数が奇数である自然数は平方数に限る（一般に約数の個数は素因数の指数に1を足した数の積に等しく、約数の個数が奇数ならすべての指数は偶数となるため、奇数個の約数を持つ数は平方数でなければならない）
  • 特に、正の約数が3個だけある自然数は素数の平方数である（その約数は p を素数として 1, p, p²）
  • 奇数の完全数は存在したとしても約数の個数が偶数であることが知られているため、平方数は完全数ではない
• 1 から 2n − 1 までの n 個の奇数の総和は n² に等しい：${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}$