Parzystość liczb

Klocki Cuisenaire’a ilustrujące nieparzystość liczby 5 oraz parzystość liczby 6. Piątka nie jest wielokrotnością dwójki, a szóstka już tak.

Zegarek, w którym tylko parzyste godziny są zaznaczone cyframi

Parzystość liczb – podzielność dowolnej liczby całkowitej przez dwa. Innymi słowy liczba parzysta to wielokrotność dwóch – każdą liczbę parzystą można przedstawić jako $2k$ dla pewnego całkowitego $k$, przez co zbiór liczb parzystych ma postać:

$\left\{2k\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \right\}.$

Pozostałe liczby całkowite nazywa się nieparzystymi. Każdą z nich można przestawić jako $2k+1$ dla pewnego całkowitego $k$; zbiór liczb nieparzystych ma więc postać:

$\left\{2k+1\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-5,-3,-1,1,3,5,\dots \right\}.$

Własności arytmetyczne

Liczby parzyste

Suma, różnica i iloczyn liczb parzystych są zawsze parzyste:

• parzysta ± parzysta = parzysta; bo $2k\pm 2l=2(k\pm l).$
• parzysta · parzysta = parzysta; bo $2k\cdot 2l=2(2kl).$

Liczby nieparzyste

Suma i różnica dwóch liczb nieparzystych są parzyste:

• nieparzysta ± nieparzysta = parzysta; bo $(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)$ i $(2k+1)-(2l+1)=2(k-l).$

Iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest nieparzysty:

• nieparzysta · nieparzysta = nieparzysta; bo $(2k+1)\cdot (2l+1)=2(2kl+k+l)+1.$

Liczby różnej parzystości

Tablica Cayleya dodawania liczb parzystych i nieparzystych

+	parzysta	nieparzysta
parzysta	parzysta	nieparzysta
nieparzysta	nieparzysta	parzysta

Suma i różnica liczby parzystej i nieparzystej są nieparzyste:

• parzysta ± nieparzysta = nieparzysta; bo $2k+(2l+1)=2(k+l)+1$ i $2k-(2l+1)=2(k-l)-1.$

Iloczyn liczby parzystej z nieparzystą jest parzysty:

• parzysta · nieparzysta = parzysta; bo $2k\cdot (2l+1)=2(2kl+k).$

Perspektywa algebry abstrakcyjnej

Liczby parzyste są przykładem:

• podpierścienia pierścienia liczb całkowitych; podpierścień ten nie zawiera jedynki;
• ideału pierścienia liczb całkowitych.

Zobacz też

• modulo
• Hipoteza Goldbacha
• Problem Collatza
• Liczby doskonałe
• Symbolika liczb
• Parzystokopytne
• Nieparzystokopytne

Inne znaczenia parzystości

• Funkcje parzyste i nieparzyste
• Permutacje parzyste i nieparzyste
• Parzystość P
• Parzystość T
• Parzystość R

Linki zewnętrzne

• Krzysztof Kwiecień, Liczby parzyste i nieparzyste – wprowadzenie, kanał Khan Academy na YouTube, 20 września 2015 [dostęp 2024-04-16].