Reprezentacja grupy

Reprezentacja grupy – każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Definicja

Reprezentacją grupy $G$ w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ jest homomorfizm grupy $G$ w pełną grupę liniową $GL(V).$

Wymiar przestrzeni wektorowej $V$ nazywamy wymiarem reprezentacji.

Minimalność

Jeśli $G$ jest skończona, to minimalnym (bądź wiernym) stopniem tej grupy, oznaczanym symbolem $\mu (G),$ nazywa się najmniejszą liczbę naturalną $n,$ dla której $G$ jest podgrupą grupy symetrycznej $S_{n}$ rzędu $n;$ dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (bądź wierną) reprezentacją grupy $G.$

Charaktery

Niech $V$ będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji $\varphi$ nazywamy odwzorowanie $\chi _{\varphi }\colon G\to \mathbb {C} ,\;\chi _{\varphi }(g)=\operatorname {tr} \,\varphi (g),$ gdzie $g\in G,$ zaś $\operatorname {tr}$ jest operatorem śladu.

Iloczyny tensorowe i sumy proste

Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie $\oplus$ przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

$\varphi :G\to GL(V),$

$\psi :G\to GL(W),$

jest to

$\varphi \oplus \psi :G\to GL(V\oplus W),$

$(\varphi \oplus \psi )(g)=\varphi (g)\oplus \psi (g).$

Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie $\otimes$ przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

$\varphi :G\to GL(V),$

$\psi :G\to GL(W),$

jest to

$\varphi \otimes \psi :G\to GL(V\otimes W),$

$(\varphi \otimes \psi )(g)=\varphi (g)\otimes \psi (g).$

Zobacz też

• grupa SO(n)
• grupa SU(2)
• grupa SU(n)
• teoria grup

Bibliografia

• Jan Dereziński: Teoria grup. [dostęp 2011-02-26].