Ułamek dziesiętny nieskończony

Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej $a$ za pomocą szeregu liczbowego w postaci:

$a=\pm \left(a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3}}}+\dots \right),$

gdzie $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ są liczbami naturalnymi, przy czym $0\leqslant a_{0}$ oraz $0\leqslant a_{n}\leqslant 9$ dla $n=1,2,\dots$

Symbol „$\pm$” zastępuje się znakiem „$-$”, gdy $a$ jest ujemne, w przeciwnym razie opcjonalnie pomija się go lub zastępuje się znakiem „$+$”.

Zapis liczby dodatniej $a$ w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywa się rozwinięciem dziesiętnym liczby $a$ i przedstawia się go jako:

$a_{0}\,,\,a_{1}a_{2}a_{3}\dots$

Tutaj $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ są cyframi rozwinięcia dziesiętnego, a przecinek (separator) oddziela część całkowitą (cechę) $a_{0}$ liczby $a$ od jej mantysy.

Przykłady

$2{\frac {1}{7}}=2{,}142857142857142857142\ldots$

$1=1{,}0000\ldots =0{,}99999\ldots$ (zobacz na temat liczby 0,99999...)

$-{\frac {3}{8}}=-0{,}3750000\ldots =-0{,}3749999\ldots$

${\sqrt {7}}=2{,}645751311\ldots$

$\pi =3{,}141592653589793238462\ldots$

$1{\frac {41}{99}}=1{,}414141\ldots$

Własności

Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.

Jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby $x\neq 0,$ poczynając od pewnego miejsca, występuje tylko cyfra 0, to zmniejszając ostatnią niezerową cyfrę rozwinięcia o 1 i zastępując wszystkie następne cyfry 0 cyframi 9, otrzyma się inne przedstawienie liczby $x$ w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Podobnie, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby $x,$ poczynając od pewnego miejsca, występuje wyłącznie cyfra 9, to zwiększając o 1 ostatnią cyfrę rozwinięcia różną od 9 i zastępując wszystkie następne cyfry 9 cyframi 0, otrzyma się inne przestawienie liczby $x$ w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie dziesiętne nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od 9. Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie dziesiętne normalne.

Algorytm rozwijania liczby w ułamek dziesiętny

Poniższy algorytm pozwala wyznaczyć liczby $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ dla danej liczby rzeczywistej $x.$

Niech $|z|$ oznacza wartość bezwzględną, a $[z]$ część całkowitą liczby $z.$

1. $b_{0}=|x|,\quad a_{0}=[b_{0}],$
2. $b_{i}=10\cdot (b_{i-1}-a_{i-1}),\quad a_{i}=[b_{i}]\quad {\mbox{dla }}i\geqslant 1.$

liczba $a_{0}$ jest częścią całkowitą liczby |x|, liczby następne spełniają $0\leqslant a_{i}\leqslant 9$ i są kolejnymi cyframi rozwinięcia.

Dla liczby $\pi$ mamy:

1. $b_{0}=\pi ,a_{0}=3,$
2. $b_{1}=1{,}41592653589793238462\dots ,a_{1}=1,$
3. $b_{2}=4{,}1592653589793238462\dots ,a_{2}=4$

itd.

Ułamek dziesiętny skończony

Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby $x$ od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza, otrzymując rozwinięcie dziesiętne skończone, a ułamek taki nazywa się ułamkiem dziesiętnym skończonym.

Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy $x$ jest liczbą wymierną $x=p/q,$ przy czym $q=2^{k}\cdot 5^{l},$ gdzie $k$ i $l$ są liczbami naturalnymi.

Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(2⁴ · 5³).

$q=2^{k}\cdot 5^{l}$ wynika z rozkładu na czynniki pierwsze podstawy systemu liczbowego $10=2\cdot 5.$

Na przykład ułamek dziesiętny o skończonym rozwinięciu $1/(2^{1}\cdot 5^{1})=1/10=0.1_{(10)}$ w systemie dwójkowym ma dwójkowe rozwinięcie okresowe: $0.0001(0011)_{(2)}.$ Natomiast dzisiętny ułamek $1/(2^{2}\cdot 5^{0})=1/4=0.25_{(10)}$ w systemie dwójkowym ma skończone rozwinięcie dwójkowe: $0.01_{(2)}.$

Ułamek dziesiętny okresowy

Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym lub krótko ułamkiem okresowym. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno „w nieskończoność”. Na przykład:

13,54545454… – od pierwszego miejsca po przecinku powtarza się blok „54”,

2,907645645645… – od czwartego miejsca po przecinku powtarza się blok „645”.

W Polsce zwykło się obejmować okres nawiasem

13,(54)

2,907(645)

natomiast w anglojęzycznej literaturze używa się nadkreślenia

13.54

2.907645

Ułamek dziesiętny skończony jest szczególnym przypadkiem ułamka dziesiętnego okresowego, gdyż można go uzupełnić nieskończonym ciągiem zer. Na przykład:

2,71 = 2,7100000… – od trzeciego miejsca po przecinku powtarza się blok „0”.

Zachodzi ważne twierdzenie:

Każdy ułamek okresowy (skończony lub nieskończony) przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone.

Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład liczba 0,1234567891011121314… (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna.

Algorytm zamiany ułamka okresowego na zwykły

Dana jest liczba u = 23,61709709709… Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:

1. oblicz 100u = 2361,709709… – przesuń przecinek do początku okresu
2. oblicz 100000u = 2361709,709709… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
3. oblicz 100000u – 100u = 2361709,709709… – 2361,709709… = 2359348 = 99900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
4. wylicz u = 2359348/99900.

Kolejny przykład: u = 0,031313131…

1. oblicz 10u = 0,313131… – przesuń przecinek do początku okresu
2. oblicz 1000u = 31,313131… – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
3. oblicz 1000u – 10u = 31,313131… – 0,313131… = 31 = 990u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
4. wylicz u = 31/990.

Rozwinięcia na ułamki o dowolnej podstawie

Jeżeli $g$ jest liczbą naturalną i $g>1,$ to każdą dodatnią liczbę rzeczywistą $a$ można analogicznie przedstawić za pomocą szeregu liczbowego:

$a=a_{0}+{\frac {a_{1}}{g}}+{\frac {a_{2}}{g^{2}}}+{\frac {a_{3}}{g^{3}}}+\dots$

gdzie $a_{0},a_{1},a_{2}\dots$ są liczbami naturalnymi oraz $0\leqslant a_{n}\leqslant g-1$ dla $n=1,2,\dots$

Liczby $a_{1},a_{2},\dots$ nazywają się cyframi rozwinięcia danej liczby w systemie o podstawie $g.$ Potocznie systemy takie określa się przymiotnikami pochodnymi od nazwy liczby $g,$ na przykład: system dwójkowy albo binarny (o podstawie 2), ósemkowy albo oktalny (o podstawie 8), szesnastkowy albo heksadecymalny (o podstawie 16), dwudziestkowy (o podstawie 20), sześćdziesiątkowy (o podstawie 60) itp.

Rozwinięcie o podstawie g nazywa się normalnym, jeżeli nieskończenie wiele cyfr jest różnych od $g-1.$ Każda liczba rzeczywista ma jedno i tylko jedno rozwinięcie normalne o danej podstawie.

Zobacz też

• ułamek dziesiętny
• ułamek łańcuchowy

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Działania nieskończone. Wyd. III. Warszawa: Czytelnik, 1948.

Literatura dodatkowa

• Grigorij Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1962.

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, Ułamek dziesiętny okresowy jako szereg geometryczny, kanał Khan Academy na YouTube, 17 października 2017 [dostęp 2024-06-23].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Repeating Decimal, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Infinite decimal expansion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].