Ideał (teoria pierścieni)

Ideał – podzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przez Dedekinda jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i przez Emmy Noether.

Ideały odgrywają w teorii pierścieni rolę analogiczną do podgrup normalnych w teorii grup.

Definicja formalna

W dalszej części artykułu nie zakłada się przemienności pierścieni ani istnienia jedynki.

Ideałem pierścienia $R$ nazywa się każdy podzbiór $I$ pierścienia $R$ o tej własności, że:

1. $I$ jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia,
2. jeśli $\gamma \in R$ oraz $\alpha \in I,$ to $\gamma \alpha \in I,$
3. jeśli $\gamma \in R$ oraz $\alpha \in I,$ to $\alpha \gamma \in I.$

W przypadku, gdy $R$ jest pierścieniem przemiennym warunki 2. i 3. są równoważne.

Warunkowi 1. równoważny jest następujący warunek:

1′. $I$ jest niepusty oraz $\alpha -\beta \in I$ dla wszelkich $\alpha ,\beta \in I.$

Uwaga: W kontekście pierścieni, które są algebrami (nad pewnym ciałem) zakłada się dodatkowo, że $I$ jest podprzestrzenią liniową algebry $R.$ Uwaga ta dotyczy również ideałów jednostronnych zdefiniowanych niżej.

Ideały jednostronne

Podobnie definiuje się ideały jednostronne w pierścieniu $R{:}$

• podzbiór $L$ pierścienia $R$ jest ideałem lewostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 2.
• podzbiór $P$ pierścienia $R$ jest ideałem prawostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 3.

W przypadku, gdy $R$ jest nieprzemienny, dla odróżnienia, ideał (zbiór spełniający warunki 1., 2. i 3.) nazywa się ideałem dwustronnym albo ideałem obustronnym.

Generowanie ideałów

Niech $A$ będzie podzbiorem pierścienia $R.$ Część wspólna dowolnej rodziny dwu-/lewo-/prawostronnych ideałów w $R$ jest nadal ideałem o danej własności. Obserwacja ta pozwala na definicję ideału dwu-/lewo-/prawostronnego generowanego przez zbiór $A$ ($A$ nazywany jest wówczas zbiorem generatorów). I tak, symbolami $RAR,$ $RA,$ $AR$ oznacza się część wspólną rodziny wszystkich ideałów, odpowiednio, dwu-/lewo-/prawostronnych zawierających zbiór $A$ (w każdym przypadku rodzina ideałów zawierających $A$ jest niepusta, gdyż należy do niej ideał $I=R;$ rozważanie części wspólnej ma zatem sens).

Jeśli pierścień $R$ ma jedynkę, to wyżej zdefiniowane ideały generowane przez zbiór $A$ można opisać jawnie:

$RAR=\{l_{1}a_{1}p_{1}+\ldots +l_{n}a_{n}p_{n}\colon \;\;l_{i},p_{i},\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \},$

$RA=\{l_{1}a_{1}+\ldots +l_{n}a_{n}\colon \;\;l_{i}\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \},$

$AR=\{a_{1}p_{1}+\ldots +a_{n}p_{n}\colon \;\;p_{i},\in R,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \}.$

W przypadku, gdy pierścień jest przemienny, powyższe trzy zbiory są identyczne (postać drugiego i trzeciego jest oczywiści prostsza od pierwszego).

Jeśli w pierścieniu $R$ brak jedynki, to sumy w poszczególnych definicjach zbiorów należy zastąpić odpowiednio następującymi sumami

$\sum _{i=1}^{n}(l_{i}a_{i}p_{i}+l_{i}^{'}a_{i}+a_{i}p_{i}^{'}+k_{i}\cdot a_{i}),\quad \sum _{i=1}^{n}(l_{i}a_{i}+k_{i}\cdot a_{i}),\quad \sum _{i=1}^{n}(a_{i}p_{i}+k_{i}\cdot a_{i})$

gdzie $l_{i},l_{i}^{'}p_{i},p_{i}^{'}\in R,a_{i}\in A,k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .$

Ideały generowane przez zbiór skończony nazywa się ideałami skończenie generowanymi. Ideały generowane przez zbiór jednoelementowy („generowane przez jeden element”) nazywane są ideałami głównymi.

Typy ideałów

Z definicji natychmiast wynika, że sam pierścień $R$ jest ideałem (dwu-/lewo-/prawostronnym). Ideały pierścienia $R,$ które są różne od $R$ nazywane są ideałami właściwymi. W przypadku pierścieni z jedynką, ideał $I$ jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera jedynki pierścienia.

Ideały maksymalne

Ideał (dwu-/lewo-/prawostronny) $I$ nazywany jest ideałem maksymalnym, gdy nie istnieje ideał właściwy, w którym jest on zawarty w sposób właściwy. Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna (a więc aksjomatu wyboru), można udowodnić następujące twierdzenie:

• Twierdzenie Krulla: Każdy ideał (dwu-/lewo/-prawostronny) jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Ponadto,

• Ideał $I$ (dwustronny) jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ jest pierścieniem z dzieleniem (bądź ciałem, gdy $R$ jest przemienny).

Ideały pierwsze

Niech $R$ będzie pierścieniem przemiennym. Ideał $I$ pierścienia $R$ nazywa się ideałem pierwszym, gdy spełnia on następujący warunek:

jeżeli $\alpha \cdot \beta \in I,$ to $\alpha \in I$ lub $\beta \in I.$

Często używa się również w definicji warunku równoważnego:

jeżeli $\alpha \cdot \beta \in I$ oraz $\alpha$ nie należy do $I,$ to $\beta \in I.$

Każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Ponadto, ideał $I$ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ nie ma nietrywialnych dzielników zera (tj. $R/I$ jest dziedziną całkowitości).

Ideały pierwsze w teorii pierścieni pełnią rolę liczb pierwszych w teorii liczb.

Pierścień w którym każdy ideał jest ideałem pierwszym nazywany jest pierścieniem ideałów pierwszych.

Przykłady

• W dowolnym pierścieniu zbiór $\{0\}$ jest ideałem, zwanym trywialnym.
• Zbiór wszystkich elementów pierścienia $R$ jest ideałem w tym pierścieniu (zwanym niewłaściwym).
• W pierścieniu $\mathbb {Z}$ liczb całkowitych przykładem ideału jest zbiór wszystkich liczb parzystych. Ideałem jest również zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 9. Ogólniej, każdy ideał pierścienia $\mathbb {Z}$ jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez pewną liczbę naturalną $k.$ Zatem $\mathbb {Z}$ jest pierścieniem ideałów głównych. Ideał pierścienia $\mathbb {Z}$ jest pierwszy, wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem liczb podzielnych przez pewną liczbę pierwszą.
• Jedynymi ideałami dowolnego ciała są ideał trywialny (złożony z samego zera) i niewłaściwy (całe ciało).
• Jeśli $f\colon R\to S$ jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro $\ker f$ jest ideałem w pierścieniu $R.$
• Zbiór elementów nieodwracalnych pierścienia $R$ tworzy ideał wtedy i tylko wtedy, gdy $R$ zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny.

• Grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych ciała liczb hiperrzeczywistych.

Operacje na ideałach

Suma algebraiczna ideałów $I$ i $J$ pierścienia $R,$ czyli zbiór

$I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}$

jest również ideałem w pierścieniu $R.$

Zbiór wszystkich iloczynów elementów dwóch ideałów $I$ i $J$ nie musi być ideałem. Dlatego przez $IJ$ rozumie się ideał generowany przez te iloczyny. Zatem:

$IJ=\{r_{1}a_{1}b_{1}+\ldots +r_{n}a_{n}b_{n}:r_{i}\in R,a_{i}\in I,b_{i}\in J,1\leqslant i\leqslant n,n\in \mathbb {N} \}.$

Część wspólna ideałów $I\cap J$ również jest ideałem, podczas gdy teoriomnogościowa suma ideałów $I\cup J$ nie musi być ideałem, ale zawsze jest podzbiorem ideału $IJ.$

Część wspólna wszystkich ideałów pierwszych zawierających ideał $I$ w pierścieniu $R$ nazywana jest radykałem ideału $I$ w pierścieniu $R.$

Własności operacji na ideałach

• Wszystkie trzy powyższe operacje są łączne i przemienne.
• Iloczyn ideałów jest rozdzielny względem dodawania.
• Część wspólna ideałów jest modularna względem dodawania: jeśli $I\supseteq K,$ to $I\cap (J+K)=(I\cap J)+K.$
• $(I+J)(I\cap J)\subseteq IJ$
• Ideały $I,J$ nazywamy ideałami względnie pierwszymi, jeśli $I+J=(1).$ Na podstawie poprzedniego przykładu oznacza to, że $I\cap J\subseteq IJ,$ a ponieważ $IJ\subseteq I\cap J,$ więc dla ideałów względnie pierwszych zachodzi równość $IJ=I\cap J.$
• Przeciwobraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem. Jeżeli $\phi \colon R\to P$ jest homomorfizmem i I jest ideałem P to $\phi ^{-1}(I)$ jest ideałem R. (przeciwobraz podgrupy jest podgrupą, iloczyn elementu $\phi ^{-1}(I)$ i elementu z jądra przechodzi na 0, więc jest w przeciwobrazie I, iloczyn z elementem spoza jądra przechodzi na element z I z definicji ideału i homomorfizmu).
• Obraz ideału przy epimorfizmie jest ideałem. Ogólniej obraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem obrazu pierścienia przy homomorfizmie (niekoniecznie ideałem pierścienia, w który prowadzi homomorfizm).