Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)

Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli $G$ jest grupą skończoną i $p$ jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy $G$ (liczby elementów grupy $G$), to w $G$ istnieje element rzędu $p.$ Oznacza to, że istnieje $x\in G$ taki, że dla najmniejszego niezerowego $p$ zachodzi $x^{p}=e,$ gdzie $e$ jest elementem neutralnym.

Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy $G$ dzieli rząd grupy $G.$ Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej $p,$ będącej dzielnikiem rzędu $G,$ istnieje podgrupa grupy $G,$ której rzędem jest $p$ i jest to grupa cykliczna.

Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, a $p^{n}$ jest dzielnikiem rzędu grupy $G,$ to $G$ ma podgrupę rzędu $p^{n}.$

Twierdzenie i dowód

Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.

Twierdzenie: Niech $G$ będzie grupą skończoną, a $p$ liczbą pierwszą. Jeśli $p$ dzieli rząd grupy $G,$ to $G$ ma element rzędu $p.$

Dowód 1

Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest abelowa, a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem $n=|G|.$ Przypadek, gdzie $n=p$ jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd $p.$ Przypuśćmy najpierw, że $G$ jest abelowa. Weźmy dowolny element $a,$ który generuje grupę cykliczną $H.$ Jeśli $p$ dzieli $|H|,$ to $a^{|H|/p}$ jest elementem rzędu $p.$ Jeśli $p$ nie dzieli $|H|,$ to dzieli rząd $[G:H]$grupy ilorazowej $G/H,$ która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu $p.$ Element ten jest warstwą $xH$ dla $x\in G.$ Jeśli $m$ jest rzędem $x\in G,$ to $x^{m}=e$ w $G$ daje, że $(xH)^{m}=eH$ w $G/H,$ więc $p$ dzieli $m.$ Jak wcześniej, $x^{m/p}$ jest elementem rzędu $p$ w $G,$ co kończy dowód w przypadku abelowym.

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech $Z$ będzie centrum $G,$ które jest podgrupą abelową. Jeśli $p$ dzieli $|Z|,$ to $Z$ zawiera element rzędu $p$ w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że $p$ nie dzieli rzędu $Z.$ Ponieważ nie dzieli $|G|,$ to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez $p.$ Rozmiarem tym jest $[G:C_{G}(a)],$ więc $p$ dzieli rząd centralizatora $C_{G}(a)$ elementu $a$ w $G,$ który jest podgrupą właściwą, ponieważ $a$ nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu $p,$ co kończy dowód.

Dowód 2

W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu $p,$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są $1$ i $p$ co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór $X=\{(x_{1},\dots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\ldots x_{p}=e\}$ skończonych ciągów z $G$ o długości $p,$ których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych $p$ elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że $p-1$ elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór $X$ ma $|G|^{p-1}$ elementów, które są podzielne przez $p.$

Z faktu, że jeśli $ab=e,$ to także $ba=e,$ wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z $X$ daje element zbioru $X.$ Można określić działanie w grupie cyklicznej $C_{p}$ rzędu $p$ na $X$ przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w $C_{p}$ wybrany generator przypisuje $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\dots ,x_{p},x_{1}).$

W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość $1$ lub $p.$ Działo się tak dla uporządkowanego zbioru $(x,x,\dots ,x),$ dla którego $x^{p}=e.$ Zliczając elementy $X$ na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających $x^{p}=e$ jest podzielna przez $p.$ Ale $x=e$ jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej $p-1$ innych rozwiązań dla $x$ i te rozwiązania są elementami rzędu $p.$ To kończy dowód.

Zastosowania

Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa $G$ jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd $p^{k}$ dla dowolnej liczby naturalnej $k$) wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ ma rząd $p^{n}$ dla dowolnej liczby naturalnej $n.$ Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.