내부 (위상수학)

위상수학에서 내부(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. $A$의 내부의 기호는 $\operatorname {int} A$ 또는 $A^{\circ }$이다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$의 내부 $\operatorname {int} A\subseteq X$는 $A$를 근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점 $x\in X$들의 집합이다.

• $x\in U\subseteq A$인 열린집합 $U\subseteq X$가 존재한다.

내부의 원소를 내부점(內部點, 영어: interior point)이라고 한다.

성질

열린집합과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$는 열린집합이다.
• $A=\operatorname {int} A$
• $A\subseteq \operatorname {int} A$

반대로 $\operatorname {int} A$는 $A$의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한 $A$의 최대 열린부분집합이다.^:92-101

폐포와의 관계

내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

$\operatorname {int} A\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} A$

내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

$\operatorname {int} A=X\setminus \operatorname {cl} (X\setminus A)$

위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계와 외부로 분할할 수 있다.

$X=\operatorname {int} A\sqcup \partial A\sqcup \operatorname {ext} A$

집합 연산과의 관계

내부는 유한 교집합을 보존한다.

$\operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} A\cap \operatorname {int} B$

그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

$\operatorname {int} \bigcap _{i\in I}A_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}\operatorname {int} A_{i}$

$\operatorname {int} \bigcup _{i\in I}A_{i}\supseteq \bigcup _{i\in I}\operatorname {int} A_{i}$

기저와의 관계

위상 공간 $(X,{\mathcal {T}})$의 기저 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {T}}$가 주어졌을 때, 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $x\in \operatorname {int} A$
• $x\in B\subseteq A$인 $B\in {\mathcal {B}}$가 존재한다.

즉, $\operatorname {int} A$는 $A$에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

예

실수선 $\mathbb {R}$의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

$\operatorname {int} \bigcap _{n=1}^{\infty }\left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]=\varnothing \subsetneq \{0\}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\operatorname {int} \left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]$

또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

$\operatorname {int} ([0,1]\cup [1,2])=(0,2)\supsetneq (0,1)\cup (1,2)=\operatorname {int} [0,1]\cup \operatorname {int} [1,2]$

스콧 위상

연속 dcpo $(P,\leq )$ 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의 $a\in P$의 상폐포의 내부는 다음과 같다.^{:136, Proposition II-1.6}

$\operatorname {int} \mathop {\uparrow } a=\mathop {\Uparrow } a=\{b\in P\colon b\gg a\}$

증명:

$\mathop {\Uparrow } a$은 스콧 열린집합: $D\subseteq L$가 상향 집합이며, $\textstyle a\ll \bigvee D$라고 하자. $P$가 연속 dcpo이므로, $a\ll d$인 $d\in D$가 존재한다. 즉, $\mathop {\Uparrow } a\cap D\neq \varnothing$이다.

$\operatorname {int} \mathop {\uparrow } a\subseteq \mathop {\Uparrow } a$: 임의의 $b\in \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a$ 및 상향 집합 $D\subseteq L$가 주어졌으며, 또한 $\textstyle b\leq \bigvee D$라고 하자. $a\leq d$인 $d\in D$를 찾으면 족하다. $\operatorname {int} \mathop {\uparrow } a$는 스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서, $\textstyle \bigvee D\in \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a$이다. 따라서, $D\cap \operatorname {int} \mathop {\uparrow } a$는 공집합이 아니다.

같이 보기

• 외부 (위상수학)
• 경계 (위상수학)
• 근방

외부 링크

• “Interior of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Interior”. 《nLab》 (영어). 
• “Interior”. 《Topospaces》 (영어).