경계 (위상수학)

일반위상수학에서 위상 공간 $X$ 의 한 부분집합 $E$의 경계(境界, 영어: boundary,the surface of interface)란 E의 가장자리를 둘러싸는 테두리를 말한다.

정의

위상 공간 $X$의 부분공간 $Y\subset X$의 경계 $\partial Y\subset X$는 다음 성질을 만족시키는 점 $x\in X$들의 집합이다.

$x$의 모든 근방 $N\ni x$에 대하여, $N\cap Y\neq \varnothing$이며 $N\setminus Y\neq \varnothing$이다.

성질

경계는 다음과 같이 폐포 연산으로 나타낼 수 있다.

$\partial Y=\operatorname {cl} Y\setminus \operatorname {int} Y=\operatorname {cl} Y\cap \operatorname {cl} (X\setminus Y)$

여기서 $\operatorname {cl}$은 폐포, $\operatorname {int}$는 내부를 의미한다.

경계와 집합 연산 (합집합과 교집합) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

• $\partial (A\cup B)\subseteq \partial A\cup \partial B$
• $\partial (A\cap B)\subseteq \partial A\cup \partial B$

같이 보기

• 내부 (위상수학)
• 외부 (위상수학)