Bagian dalam (topologi)

Titik $x$ merupakan titik dalam dari $S$, sedangkan titik $y$ merupakan titik batas dari $S$.

Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam (atau interior) dari suatu himpunan bagian $H$ pada ruang topologis $X$ adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari $H$ yang terbuka pada $X$. Suatu titik yang berada pada interior dari $H$ disebut sebagai titik interior (atau titik dalam) dari $H$.

Interior dari $H$ merupakan komplemen dari penutup komplemen dari $H$. Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.

Bagian luar (atau eksterior) dari himpunan $H$ adalah komplemen dari penutup $H$, yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).

Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.

Definisi

Titik interior

Jika $H$ merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka $x$ dikatakan sebagai titik interior dari $H$ jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada $x$ dan termuat sepenuhnya pada $H$. Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.

Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian $H$ pada suatu ruang metrik $X$ dengan metrik $d$. Titik $x$ dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil $r>0$ sedemikian sehingga $a\in H$ ketika jarak $d(x,\,a)<r$.

Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika $H$ merupakan himpunan bagian dari ruang topologis $X$, maka $x$ dikatakan sebagai titik interior dari $H$ pada $X$ jika $x$ termuat pada suatu himpunan terbuka dari $X$ yang seluruhnya termuat pada $H$. Secara ekuivalen, $x$ adalah titik interior dari $H$ jika $H$ merupakan persekitaran dari $x$.

Interior dari suatu himpunan

Interior dari himpunan bagian $H$ pada suatu ruang topologis $X$, ditulis sebagai $\operatorname {int} _{X}H$ atau $\operatorname {int} H$ atau $H^{\circ }$, dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:

1. $\operatorname {int} H$ adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari $X$ yang termuat pada $H$.
2. $\operatorname {int} H$ adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari $X$ yang termuat pada $H$.
3. $\operatorname {int} H$ adalah himpunan semua titik interior dari $H$.

Jika ruang $X$ dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek $\operatorname {int} H$ lebih diminati daripada $\operatorname {int} _{X}H$.

Contoh

$a$ merupakan titik interior dari $M$ sebab terdapat persekitaran berjarak $\varepsilon$ yang merupakan himpunan bagian dari $M$.

1. Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
2. Dalam setiap ruang $X$, jika $H\subseteq X$, maka $\operatorname {int} H\subseteq H$.
3. Jika $X=$ $\mathbb {R}$ (dengan topologi baku), maka $\operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left(0,\,1\right)$ sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka $\operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing$.
4. Jika $X=$ $\mathbb {C}$, maka $\operatorname {int} \!\left(\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq 1\right\}\right)=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|<1\right\}$.
5. Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.

Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:

1. Jika digunakan topologi limit bawah, maka $\operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right)$.
2. Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka $\operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right]$.
3. Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan $\mathbb {R}$ itu sendiri, maka $\operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\varnothing$.

Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:

1. Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
2. Dalam setiap ruang takdiskret $X$, oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah $\varnothing$ dan $X$ itu sendiri, maka $\operatorname {int} X=X$ dan untuk sembarang $H\subset X$, maka $\operatorname {int} H=\varnothing$.

Sifat-sifat

Diberikan suatu ruang topologis $\left(X,\,T\right)$. Diambil sembarang $A\subseteq X$ dan $B\subseteq X$.

1. $\operatorname {int} A$ merupakan himpunan terbuka pada $X$.
2. Jika $A$ terbuka pada $X$, maka $A\subseteq B$ jika dan hanya jika $A\subseteq \operatorname {int} B$.
3. $\operatorname {int} A$ merupakan himpunan bagian terbuka dari $A$ ketika $A$ diberikan topologi subruang.
4. $A$ merupakan himpunan bagian terbuka dari $X$ jika dan hanya jika $A=\operatorname {int} A$.
5. Intensif: $\operatorname {int} H\subseteq H$.
6. Idempoten: $\operatorname {int} \left(\operatorname {int} A\right)=\operatorname {int} A$.
7. Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan: $\operatorname {int} (A\cap B)=(\operatorname {int} A)\cap (\operatorname {int} B)$.
   Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi $\operatorname {int} (A\cup B)\supseteq (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)$ dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku. Sebagai contoh, jika $X=\mathbb {R}$, $A=\left[0,\,1\right]$, dan $B=\left(1,\,2\right)$, maka $$(\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)=\left(0,\,1\right)\cup \left(1,\,2\right)\subset \left(0,\,2\right)=\operatorname {int} (A\cup B)$$
8. Monoton tak turun terhadap $\subseteq$: Jika $A\subseteq B$, maka $\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {int} B$.

Sifat lainnya antara lain:

1. Jika $A$ tertutup dan $\operatorname {int} B=\varnothing$, maka $\operatorname {int} (A\cup B)=\operatorname {int} A$.

Hubungan dengan penutup

Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata

"interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"

berturut-turut diganti dengan

"penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"

dan simbol-simbol berikut ditukar:

1. $\subseteq$ ditukar dengan $\supseteq$
2. $\cup$ ditukar dengan $\cap$

Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.

Operator interior

Operator interior $\operatorname {int} _{X}$ merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai $\operatorname {cl} _{X}$ atau dengan garis atas ^—, dalam artian bahwa $$\operatorname {int} _{X}H=\left({\overline {H^{\mathsf {c}}}}\right)^{\mathsf {c}}$$ dan juga $${\overline {H}}=\left(\operatorname {int} _{X}(H^{\mathsf {c}})\right)^{\mathsf {c}}$$ dengan $X$ menyatakan ruang topologis yang memuat $H$, dan simbol ${\phantom {l}}^{\mathsf {c}}$ menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada $X$.

Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:

Theorem (C. Ursescu) — Misalkan $\langle H_{n}\rangle$ merupakan barisan himpunan-himpunan bagian pada ruang metrik lengkap $X$.

• Jika setiap $S_{n}$ tertutup pada $X$, maka $${\overline {\left(\bigcup _{n\,=\,1}^{\infty }\operatorname {int} _{X}H_{n}\right)}}={\overline {\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{n\,=\,1}^{\infty }H_{n}\right)}}$$
• Jika setiap $H_{n}$ terbuka pada $X$, maka $$\operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{n\,=\,1}{\overline {H_{n}}}\right)=\operatorname {int} _{X}{\overline {\left(\bigcap _{n\,=\,1}^{\infty }H_{n}\right)}}$$

Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.

Eksterior dari suatu himpunan

Eksterior dari himpunan bagian $H$ pada ruang topologis $X$, ditulis sebagai $\operatorname {ext} _{X}H$ atau $\operatorname {ext} H$, adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan $H$, yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada $X$ yang saling asing dengan $H$. Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup. Secara simbolis, maka $$\operatorname {ext} H=\operatorname {int} H^{\mathsf {c}}=\left({\overline {H}}\right)^{\mathsf {c}}$$

Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka, $$\operatorname {int} H=\operatorname {ext} H^{\mathsf {c}}$$

Interior, batas, dan eksterior dari himpunan $H$ bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka $$X=\operatorname {int} H\;\cup \;\partial H\;\cup \;\operatorname {ext} H$$ dengan $\partial H$ menyatakan batas dari $H$. Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.

Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:

1. Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika $A\subseteq B$, maka $\operatorname {ext} B\subseteq \operatorname {ext} A$.
2. Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa $\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} A\right)$.

Lihat juga

• Interior aljabar
• DE-9IM
• Aljabar interior
• Teorema kurva Jordan
• Interior kuasi-relatif

Pranala luar

• (Inggris) Interior di PlanetMath.