lim[x→0](1+x)^1/x=eを用いて lim[x→0](e^x-1)/x=1を示すときに、e^x-1=tなどと文字に置き換えますがそれはどういう発想でそうしているのですか？

y = e^x = f(x) の グラフ を 描いて (e^x-1)/x = {f(x)-f(0)}/(x-0) = (y-1)/(log y -log1) [ y = 1+h ] = h/log(1+h) = {log(1+h)/h}^(-1) です.

● (e^x-1)/x = (e^x-1)/log(e^x) = (e^x-1)/log(1 + (e^x-1)) = 1/({1/(e^x-1)} log(1 + (e^x-1))) = 1/log((1 + (e^x-1))^(1/(e^x-1))) と変形でき、 e^x-1 を t に置き換えれば、 ● 1/log((1 + t)^(1/t)) にできることを知り、 上の変形を見やすくするために、 先に e^x-1 を t に置き換えて、置き換えた物を変形するように 書き直してるわけです。 x を log(1 + (e^x-1)) に変形してから e^x-1 を t に置き換えて log(1 + t) にする代わりに、 e^x-1 = t とおいて、同値変形して x = log(1 + t) にしても 実質的には同じですから、それをしてるのです。

lim(1+x)^(1/x)=e x→0 の形を作るため。 t=e^x-1 と置くと、 e^x=t+1 lim e^x=1 x→0 lim (e^x-1)／x x→0 =lim t／log(t+1) t→0 =lim1/{(1/t)log(1+t)} t→0 =lim 1／log{(1+t)^(1/t)} t→0 =1／loge =1／1 =1 <参考> (検算用) (与式) ☜ 0/0の形 =lim(e^x-1)`/(x)` x→0 =lim e^x／1 x→0 =e^0 =1