開区間ではない集合上の微分はすでに考えられているのでしょうか？ 例えば以下のような定義を考えました。 定義 AをRの部分集合とし、aはA\{a}の触点、cを実数、f:A→Rとします。 lim[x→a,x∈A] (f(x)-f(a))/(x-a)=c のとき、fはcで微分可能であるといい、cをfのA上の微分係数と言うことにする。また、通常の微分との混同を避けるため、c=f*(a)と表記する。 通常の微分は、f:(α,β)→R、α<c<βに対し定義されますが、cは(α,β)\{c}の触点ですから、上の定義を満たすので一般化と言えるかと思います。 微分可能⇒連続も、上の定義から直ちに導かれると思います。 しかし、積分が通常の微分の逆演算であるように、上の定義に対する逆演算を定めることは可能でしょうか？ 例えば、f:[α,β]→RがC1級のとき、f':[α,β]→Rは連続より、F(x)=ʃ[α,x]f(t)dt(F:[α,β]→R)が定義できます。 (fはαで右側微分可能、βで左側微分可能であり、 f'+(α)=f'(α)、f'-(β)=f'(β)と表記することにします。) (F(x+h)-F(x))/h =(1/h)ʃ[x,x+h]f'(t)dt =f'(γ)(γはxとx+hの間の数) (積分の平均値定理より) →f'(x)(h→0のとき、γ→x、f'の連続性より) となるので、F'=fです。 同様に、上の定義の微分に対する逆演算(原始関数をもとめる)の構成は可能でしょうか？
