今回、二点間の緯度・経度から距離を出すプログラム書いたことで、三角関数とか久しぶりに触れたのでメモっとく。 地球の極半径は6,356.752kmで、赤道半径は6,378.137kmだけど、今回は経度 1度あたりの距離の話なので赤道半径を「地球の半径」と考える。円周は、6,378.137 × 2 × 3.1415（近似値）で 40,073.834km。よく言われる「約 4万km」だよね。 この数値から、赤道部（緯度 0度）では、経度 1度あたりの距離は、円周を 360度で割ればいいので、40,073.834km ÷ 360度で 111.3162km。これも、「約 111km」って表現されてるのを聞いたことがある人もいるだろう。 極半径 6,356.752kmを元に円周をもとめ、360度で割るだけだ。6,356.752km × 2 × 3.1415 ÷ 360で 110.94297km。地球は

このスライドでは， ・フーリエ級数 ・複素フーリエ級数 ・フーリエ変換(連続) ・離散フーリエ変換(DFT) ・高速フーリエ変換(FFT) を解説しています． ブログはこちら 【フーリエ解析05】高速フーリエ変換(FFT)とは？内側のアルゴリズムを解説！【解説動画付き】 https://kenyu-life.com/2019/07/08/what_is_fft/ Twitter → https://twitter.com/kenyu0501_?lang=ja Youtube → https://youtu.be/zWkQX58nXiw

はじめに 少し前(2019年4月頃)に、「AI人材」という言葉がニュースを賑わせていました。「現在流行っているディープラーニングその他を使いこなせる人材」くらいの意味だと思いますが、こういうバズワードの例の漏れず、人によって意味が異なるようです。併せて「AI人材のために線形代数の教育をどうするか」ということも話題になっています。 線形代数という学問は、本来は極めて広く、かつ強力な分野ですが、とりあえずは「行列とベクトルの性質を調べる学問」と思っておけば良いです。理工系の大学生は、まず基礎解析とともに線形代数を学ぶと思います。そして、何に使うのかわからないまま「固有値」や「行列式」などの概念が出てきて、例えば試験で3行3列の行列の固有値、固有ベクトルを求め、4行4列の行列の行列式を求めたりしてイヤになって、そのまま身につかずに卒業してしまい、後で必要になって後悔する人が出てきたりします(例え

2乗して-1になる数「」と、実数を使って「」と表される数を複素数といいます。 複素数は、和をとったり積をとったり逆数をとったりといろいろできるわけですが、それらを図示してみるときれいな構造が見えることがあります。 この記事は、細かい解説はそこそこにして、複素数を眺めてうわ〜きれいだね〜素敵だね〜っていう記事です。 複素平面 任意の複素数は、平面上の一点として表すことができます。 今でこそ「複素数といえば平面」というイメージがあるかもしれませんが、「複素数を平面上の一点として表す」というのは驚くほど画期的なアイデアです。 それまで、複素数は「方程式を解く途中にだけ出てきて、いざ解かれたあかつきには消えてしまう」という「便宜的な数」「虚構の数」と思われていました。 ガウスによって「複素平面」のアイデアが導入されてようやく複素数が図形的な表れを伴った。複素数にはそんな歴史があるようです。 複素数

POINT 回転行列は，ベクトルを原点周りに回転したベクトルに写す． 回転行列は図をかくと簡単に導出できる． 回転行列を簡単に導出する方法を紹介します． この方法を知っておくと，プログラムで計算したいときにすぐ求められて便利です． ➡Pythonでの実装例：Pythonで回転行列 - Notes_JP 同じ方法で，「3次元回転行列」も計算できます． ➡回転行列（3次元） - Notes_JP 回転行列とは 導出方法 2次元回転行列 導出方法（一般化） 証明（方法1） 証明（方法2） 関連記事 回転行列とは回転行列とは，「ベクトル」を「原点周りに回転させたベクトル」に写す行列です． 当然ですが，回転行列には，ベクトルの長さを変えないという特徴があります．ベクトルの長さを保つ変換には，「回転」の他に「反転」があります． 導出方法詳しい方法は後に回し，ここでは2次元に限って説明します． 行列 \

以前の記事（OpenCVで取得したカメラパラメータをUnityで使う - かみのメモ）を書いたのをきっかけに、三次元座標系での回転の表現方法について色々調べたので、まとめておきたいと思います。 はじめに 三次元座標系で回転を表現するための方法として、回転ベクトル, 回転行列, オイラー角, クォータニオン（四元数）がよく知られています。 この記事では、これら4つの表現方法について 原理とその特徴 右手系・左手系の変換 各表現の相互変換（代表的なもののみ） の3つを紹介していきます。 実際にPythonで回転後の座標を計算したり各表現を相互変換したりするプログラムは、以下の記事で紹介しています↓。 なお、この記事はコンピュータビジョンと航空力学をかじっただけの人が書いたものです。 できるだけ誤りのないように書いているつもりですが、もし間違いを見つけた場合は報告していただけるとありがたいです。

この文書は「よくわかる解析力学」【東京図書】の付録C.2.2節（344ページ）で説明しているオイラー角を動く図を使って説明したものです。 webGLという3Dのライブラリが動かないブラウザ環境では遅くなる場合があります。できるかぎり、webGLの使える環境で動かしてください。 剛体の運動を考えるとき、剛体が今どのような位置関係を持っているかを3つの角度を使って表現するのが「オイラー角」である。3つの角度を表す記号としてφ、θ、ψを使おう。passiveな変換、すなわち座標系の方を回す変換として説明する。図に示したように座標軸の向きを変える。下の図では、その三つの角度を変更して、どういう変換を行っているかをアニメーションで見ることができる。 回転の向きはすべて右ねじが軸の方向に進むときに右ねじが回る向きである。 x軸、y軸、z軸を回転させるパラメータがφ、θ、ψである。 φは、元々のz軸を軸

この記事は前回の「WebGL開発に役立つベクトルの内積 (Three.js編)」の続編です。前回はベクトルの内積を勉強しましたが、今回は外積について紹介します。外積は高校までの数学では学んでいないと思いますが、本記事では簡潔に要点だけを解説するので安心してください。外積は衝突判定や、光の表現など、3Dコンテンツ制作において重要なさまざまな場面で活躍します。一緒に外積について学び、外積をThree.jsでどう応用していくかを学んでいきましょう。 外積を使った3Dのデモの紹介 本題に入る前に外積を使ったデモを作成したので紹介します。今回は以下のようなトロッコがレールに沿って走る処理を外積を使って実装しています。サンプルコードもGitHubにアップしているので参考にしてください。 デモを別ウインドウで再生する ソースコードを確認する ※このデモはThree.js(r141)で作成しています。 外

はじめに 今年(2019年)のゴールデンウィークは10連休だそうで、高速道路が相当混むことが予想される。車での移動において、渋滞は頭の痛い問題だ。では、渋滞はなぜ起きるのだろうか？ よく言われるのが「坂道が始まるところで渋滞が起きる」というものだ。坂道では知らないうちに車のスピードが落ちる。すると車間距離が縮まることで、後続の車がブレーキを踏み、それを見たさらに後ろの車がブレーキを・・・と連鎖して、最終的に渋滞になると説明される。また、ドライバーなら合流地点があったり、車線が狭くなるところなどでよく渋滞が起きることも経験的に知っているだろう。合流地点や車線が狭くなるところは流量が落ちるから詰まって渋滞になりやすそうである。 しかし、これらは「渋滞がどこで起きやすいか」ということを説明しているに過ぎず、「渋滞がなぜ起きるか？」ということの答えにはなっていない。そもそも渋滞はなぜ起きるのか？何

1年くらい前に特異スペクトル変換法による異常検知ライブラリを作ったんですが、作ったっきり放置していたので、開発当初からやりたかった計算の高速化処理を書きました。 ずっと放置してた割にはちょいちょいGitHubのスターを押してもらえてて、データサイエンスの流行を感じた。自分ももう一回ちゃんと学び直していこうという気になったので、まずは昔書いたやつの拡張からやっていく。 【目次】 特異スペクトル変換とは？ Krylov部分空間の導入 検証結果 さいごに 参考 特異スペクトル変換とは？ 特異スペクトル変換法の特徴については以前のブログに書いているので、ぜひそちらも読んでください。 特異スペクトル変換法の全体像は以下のようになっています。 出典：上の図は井手剛氏の著書「入門 機械学習による異常検知―Rによる実践ガイド」のP200 図7.4を元に作成しました。 図のように過去と今のパターンを行列とし

数学の超難問「リーマン予想」を証明したと、昨年９月に発表した、英エディンバラ大名誉教授のマイケル・アティヤ氏（８９）が今月死去していたことがわかった。科学誌に投稿中だった論文はどうなるのか？ １６０年前に提案された謎の行方は――。 リーマン予想は、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが１８５９年に提案した素数に関する未解決問題。２、３、５、７……と無限に続く素数の不思議な性質の解明につながるとされる。名だたる数学者が試み、証明の名乗りも何度もあったが、その度に誤りが判明し、１６０年間挑戦をはねつけている。 アティヤ氏は、幾何学とトポロジーが専門で、２０世紀の数学の金字塔と言われる「アティヤ＝シンガーの指数定理」で名をはせた。数学の「ノーベル賞」と称されるフィールズ賞（１９６６年）やアーベル賞（２００４年）などを受賞し、世界で最も偉大な数学者の一人に挙げられる。英王立協会などによると、１月１

「他にこんなのがある」というのがあったら是非いっぱい教えてください！ 歴史的に最も古くからある用途は「測量」でしょう。三角関数誕生のキッカケはまさに測量の必要性にありました。比較的日常生活でも見る機会がありそうな用途でしょうか。 ログハウス ケーキカット 震災時の家の傾き推定 現代では「波」としての用途が多いでしょうか。Twitter での様々な人のコメントを見ていても、 おっぱい関数 jpeg 画像 音声処理 といった具合に、波に関する話がかなり多いイメージです。これらの三角関数の使われ方を特集してみます。様々な分野に共通する三角関数の使い方のエッセンスを抽出したつもりですが、これでもかなり分量が多くなりました。摘み食いするような感覚で読んでいただけたら幸いです。 2. 三角関数の 3 つの顔 最初に三角関数には大きく 3 つの定義があったことを振り返っておきます。以下の記事にとてもよく

この記事は、線形代数において重要な「行列式」の概念だけを、予備知識ゼロから最短距離で理解したい人のための都合のいい記事です。 そのため、わかっている人から見れば「大雑把すぎじゃね？」「アレの話するんだったらアレの話もしないとおかしくね？」という部分が少なくないかもですが、趣旨をご理解いただいた上でお付き合いください。明らかな間違いに関しては、ご指摘いただけますと助かります。 線形変換 ↑座標です。 座標を変形することを考えます。つまり、座標変換です。 座標変換にもいろいろあって、以下のようにグニュッと曲げたやつ も座標変換には違いありませんが、今回ここで考えるのは線形変換だけにします。線形変換とは大雑把に言えば「すべての直線を直線に保つ」「原点を動かさない」という条件を満たす変換です。 そういう変換には例として、伸ばしたり縮めたりの拡大・縮小（scale）、原点中心に回す回転（rotate

「月を入力すると日を返す多項式」の話が、Twitterのタイムライン上で話題になりました。 togetter.com どんな話題かというと、多項式 を以下のように定義したとき この に を代入すると、 となり、月を入力すると日を返す多項式になっています！すごい！ こんな多項式をいったいどうやって求めるんだろうかと、気になったかたはいるんじゃないかと思います。 これについては 中国剰余定理 が使えるということを、Iwao KIMURA ( @iwaokimura ) さんが、以下のツイートで教えてくださいました。 月を入力すると日を返す多項式．中国の剰余定理のいい例ですね．sagemathだとコマンド一発． pic.twitter.com/F15nosE2ia— Iwao KIMURA (@iwaokimura) 2018年10月21日 中国剰余定理は私の好きな定理の一つですが、このような応

2015年から１次変換と行列は高校数学から削除されました。 文系クラスだけれども行列を習ったよという人は年齢40代から50代の人です。 「数Cが消滅しました」と聞いてびっくりする人はたぶん20代~40代の人です。 2015年からは理系にすら行列を教えていません。 数Aの確率から「期待値」が消滅したのも地味に痛いです。 2024年からはさらに数学を削減予定です。 ベクトルを学ばずに大学生になれる！？　～　新学習指導案で日本は滅びます - Togetter ベクトルが高校数学Cに移動するので，カッとなって過去の学習指導要領から線形代数の分野を表にしてみた。 pic.twitter.com/k7VJjPrxvq— ジョゼフ・アンリ (@joseph_henri) 2018年2月16日 大学で教えている人の間で2年程前から話題になっています。１年生を教えている人は頭を抱えています。 あなた方は実験

「技術者のための」と冠した数学書の第2弾――線形代数学 「機械学習を支える『数学』をもう一度しっかりと勉強したい」方々に向け、理工系の大学生が学ぶ『線形代数学』を基礎から解説した書籍です。 ■本書の特徴 ・機械学習を支える大学数学の3分野のうち、線形代数学を順序立てて学習できる（既刊『技術者のための基礎解析学』、続刊予定『技術者のための確率統計学』との姉妹編。これら3冊で大学数学の3分野を学ぶことができる） ・定義と定理をもとに、厳密に展開される議論を丁寧に説明している（再入門者に理解しやすい） ・各章の最後に理解を深めるための演習問題を用意 ■対象読者 ・大学1、2年のころに学んだ数学をもう一度、基礎から勉強したいエンジニア ※理系の高校数学の知識が前提となります。理工系の大学1、2年生が新規に学ぶ教科書としても利用いただけます。 線形代数学がテーマの本書では、実数ベクトルに限定して、「