日々のつれづれ |新しい数学史を求めて(9)　解析的表示式から連続関数へ

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日々のつれづれ |新しい数学史を求めて(9)　解析的表示式から連続関数へ

今日の微積分では関数の性質に次々と条件を課していきますが、まずはじめに着目されるのはたいていの場... 今日の微積分では関数の性質に次々と条件を課していきますが、まずはじめに着目されるのはたいていの場合、連続関数です。連続関数の諸性質を調べることは基本中の基本で、「中間値の定理」や、「有界閉区間上の連続関数は最大値と最小値をもつ」という命題が成立しますが、これらはどちらも実数の連続性を基礎にして証明されます。連続関数に続いて語られるのは関数の微分可能性ですが、微分可能な関数に対しては「ロールの定理」が成立し、これを基礎にして「平均値の定理」の証明が行われます。ロールの定理の証明はどのようにするのかというと、「有界閉区間上の連続関数は最大値と最小値をもつ」という連続関数の基本性質が基礎になりますから、本質はやはり実数の連続性にあると言うことができます。微分可能性には段階があり、一回微分可能、二回微分可能・・・というふうにどこまでも進行し、テイラー展開の可能性を論じるあたりが中心的な課題になり

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