ものを知れば知るほど、いつも歩いている道なんかも解像度が上がって見えてくるわけです。 花の名前や雲の種類、建築の様式などはその代表格でしょう。 同じように、知れば知るほど数学の見え方の解像度が上がる（にも関わらず、高校までの数学ではまったくと言っていいほど出てこない）ものの代表格が「線形代数」と「群論」だと思っています。 線形代数については過去にこのブログで扱ったことがあるのでそちらを参照いただくとして、今回は知れば知るほど身の回りにあふれていることがわかって驚かされる「群」という概念のご紹介です。 一体、群とは何なのでしょうか？ とある３つの表 CASE-1 足して4で割る 0,1,2,3という4つの数がありますね。世の中には。 この4つの数に対して、「2数を足して、その答えを4で割ったあまりをとる」という演算を考えます。 例えば「2」と「3」に対してこの演算をすると「1」となります。

数学に関する本を読んで感動したのは初めてかも知れない。以前、NHKスペシャルで、ロシアの天才数学者グリゴリ・ペレリマンが数学の超難問「ポアンカレ予想」を証明した過程を追ったドキュメンタリー番組『100年の難問はなぜ解けたのか ～天才数学者失踪の謎～』を見て、数学の世界のすさまじさに感心したものだが、それをはるかに上回る衝撃である。 2012年8月30日、京都大学数理解析研究所の望月新一教授が、ホームページ上に公開した500頁超に及ぶ4つの論文で、後に「未来から来た論文」と呼ばれることになる全く新しい理論である「宇宙際タイヒミュラー（Inter-Universal Teichmüller Theory）理論」を打ち出し、数学にとって極めて重要な「ABC予想」を解決したと主張して、数学界に激震が走った。 「ABC予想」は、a+b=cを満たす互いに素な自然数の組に関する予想で、「フェルマーの最終

この記事は、「数学カフェ」アドベントカレンダー19日目の記事です。 記事の趣旨 蔵本モデルでよく出てきた関数解析って? 「現実でどう役に立つの?」 これに尽きます。 ※なので今回は、関数解析的な証明は行いません（できません…の方が適切ですが…） ※誤植勘違い等もあると思いますが、温かい目でお願いします。 トピック 「関数解析は機械学習でどう役に立つの?」 カーネルトリック 今回のアドベントカレンダーで関数解析について触れてる記事 06日目_作用素のスペクトル理論 11日目_掛け算作用素でCompact作用素・Fredholm作用素の理論を展開する 13日目_関数解析復習会のその先「Weyl-von Neumannの定理」 15日目_Selberg trace formula 1 - pi 「関数解析は機械学習でどう役に立つの?」 機械学習における関数解析の使いどころ 再生核ヒルベルト空間

簡単ですね． 長方形近似の極限としてのリーマン積分 リーマン積分は，こうした長方形近似の極限として求められます(厳密な定義ではありません4)． $$\int_0^1 f(x) \, dx \; = \; \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a_k\right) \;\;\left(\frac{k-1}{n}\le a_k \le \frac{k}{n}\right) .$$ この式はすぐ後に使います． リーマン積分できない関数 さて，リーマン積分を考えましたが，この考え方を用いて，区間 $[0,1]$ 上で定義される以下の関数 $1_\mathbb{Q}$5 の積分を考えることにしましょう． 区間 $[0,1]$ の中に有理数は無数に敷き詰められている(稠密といいます)ため，厳密な絵は描けませんが，大体イメージは上のよ

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個人的に言葉は音が同じでも意味が変わっていくものだと思ってる。 例えば、なし崩しだったり、敷居が高いだったりが挙げられる。 僕がそう思ってきたのは言葉の意味は、それが使われる社会での認識が意味を与えているからだ。 でもそうでもないかもしれない。 ベクトルの誤用が発見されたからだ。 理系にとっては当たり前だがベクトルは向きと大きさを持つ。 それがベクトルの意味であって、そうであるからこそ、このような概念が用いられてるのだ。 でも世間ではそうでない。向きを表す言葉がベクトルなのだ。 そこで大きさは考慮されない。 でも方向だけならスカラーじゃないのか？ これを一つの言葉で表したらもう言葉の持つ概念そのものが意味を失ってしまう。 だからベクトルは向きと大きさを持つものなんだ。 これは譲れない。 だからそんな日が来たら僕は日本語を捨てる。 追記 向きだけなら弧度法でいうθだし、自由度は1じゃないの？

Ｑ．なぜ分散は、単純な差（偏差の絶対値）ではなく、差の２乗を計算するのか？ Ａ．分散を最も小さくする点が平均値だから。（単純な差を最も小さくする点は中央値となる。） “分散”というキーワードは統計学の基礎中の基礎であり、どんな教科書にも“平均”の次くらいに載っていることがらです。 しかしながら、いきなり登場する“分散”の意味が分からず、統計学の入り口で挫折する人は少なくありません。 偏差の２乗の平均、つまり、各値と平均との差の２乗の平均を分散といい、 分散の平方根の正の方を標準偏差という。 統計で、ちらばりを表すものとして、標準偏差や分散が多く用いられる。 -- 高校の教科書（啓林館）より. 教科書にはこのように書かれているのですが、これで分かった気になるでしょうか。 ・なぜ、差の２乗を計算するのか？ ・差そのものであってはいけないのか？ ・なぜ、分散と標準偏差の２種類があるのか？ 最後の

ここでは、分散の定義についてもう一度考えてみます。分散は「"偏差（平均との差）の2乗"の平均値」で定義されますが、2乗しないとどうなるのか、2乗するとどうなるのか、絶対値ならどうなるのか、について考えてみたいと思います。 2乗しないとどうなるのか 【基本】データの分散で見た通り、分散の定義は次の通りです。\[ \frac{1}{n}\left\{ (x_1-\bar{x})^2 +(x_2-\bar{x})^2 +\cdots +(x_n-\bar{x})^2 \right\} \]散らばり具合を示すことを目的とした、「各数値と平均値との距離に着目した指標」ということで、こういう定義になっています。しかし、そもそもなぜ2乗しているのでしょうか。 もし2乗しなければ、定義式の波かっこの中では、次のようなことが起こってしまいます。 \begin{eqnarray} & & (x_1-\bar{

機械学習の発達にはめざましいものがあり、画像の中から特定のオブジェクトを認識したり人間の声を正しく認識したりと、機械学習を用いた多くのAIが登場しています。しかしそんな機械学習にも「解決できるのかどうかの『証明』ができない問題」が存在すると、コンピューターサイエンスの研究者が指摘しています。 Learnability can be undecidable | Nature Machine Intelligence https://www.nature.com/articles/s42256-018-0002-3 Unprovability comes to machine learning https://www.nature.com/articles/d41586-019-00012-4 現在、PCやスマートフォンに搭載されたAIから電子メールのスパムフィルターまで、機械学習を用いたアル

Deleted articles cannot be recovered. Draft of this article would be also deleted. Are you sure you want to delete this article? はじめに：冷戦と動的計画法 動的計画法とは何でしょうか？ いきなりですが、日本語版Wikipediaを引用します。 動的計画法 - Wikipedia 動的計画法（どうてきけいかくほう、英: Dynamic Programming, DP）は、計算機科学の分野において、アルゴリズムの分類の1つである。対象となる問題を複数の部分問題に分割し、部分問題の計算結果を記録しながら解いていく手法を総称してこう呼ぶ。 おそらく、Qiitaを見る人の大半もこのような認識ではないでしょうか。 「あーなんかナップサック問題とか解くんでしょ？　表の数字を端

これは「データ構造とアルゴリズム Advent Calendar 2018」9日目の記事です． ##はじめに Suffix array1 はよく知られたデータ構造のひとつです．1990年に提案2されて以来，その使われ方は多岐にわたります．本記事では，この suffix array の基本事項として， suffix array とは何か suffix array を全文索引として用いる方法 を紹介したいと思います． ##パターンマッチングと全文索引 パターンマッチング とは，文字列 $T$ から，パターンと呼ばれる文字列 $P$ を探す問題です．たとえば， $T =$ 麒麟鼬蝙蝠駱駝蝦蟇鼈樹懶鼠膃肭臍羆狒狒鰐麒麟猩猩鼠鼠鼠鼠鼠蟒蛇鼈鼬羆蜥蜴駱駝羆麒麟鼈鼬狒狒狒狒羆蝙蝠膃肭臍麒麟蝙蝠鼬蜥蜴鼬狒狒蝮樹懶鼬羆蝮膃肭臍麒麟羆駱駝蝙蝠蟒蛇狒狒蝙蝠樹懶鼈蜥蜴駱駝羆鼬羆樹懶犀鰐蝙蝠鼠狒狒蝦蟇鼬蜥蜴鼠蝮蝦蟇