昇降演算子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/21 14:21 UTC 版)
量子力学において、昇降演算子（しょうこうえんざんし、英: ladder operator）とは、演算子として表現される物理量の固有状態を、異なる固有値を持つ別の固有状態に写す演算子[1]。特に固有値を増加させる演算子は上昇演算子（じょうしょうえんざんし、英: raising operator）、固有値を減少させる演算子は下降演算子（かこうえんざんし、英: lowering operator）と呼ばれる。ある物理量に対応する昇降演算子を構成することで、全ての固有状態を調べ上げることが可能となる。昇降演算子が応用される代表的な例としては、量子力学における角運動量、アイソスピン、調和振動子が挙げられる。昇降演算子を用いて、固有状態を求めることは、交換関係で規定されるリー代数の既約表現を構成することに対応する[2][3]。特に最高ウェイト状態を用いたリー代数の表現は、昇降演算子と密接に関連する。一方、位置座標によって、状態ベクトルを座標表示すれば、昇降演算子は同種の系列である特殊関数同士を結びつける。こうした特殊関数に作用する昇降演算子はリー代数、リー群の表現論により、統一的に扱うことができる。
一般的な定式
2つの演算子X、Nが次の交換関係を満たすと仮定する。
昇降演算子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
詳細は「昇降演算子」を参照 nがx軸、y軸、z軸であるときの T ^ n {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }} を T ^ x {\displaystyle {\hat {T}}_{x}} 、 T ^ y {\displaystyle {\hat {T}}_{y}} 、 T ^ z {\displaystyle {\hat {T}}_{z}} とし、 T ^ + := T ^ x + i T ^ y {\displaystyle {\hat {T}}_{+}:={\hat {T}}_{x}+i{\hat {T}}_{y}} T ^ − := T ^ x − i T ^ y {\displaystyle {\hat {T}}_{-}:={\hat {T}}_{x}-i{\hat {T}}_{y}} とすると:p50、 T ^ ± ( E z , k ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\pm }(E_{z,k})} = ℏ u ( u + 1 ) − k ( k + 1 ) ⋅ E z , k ± 1 {\displaystyle =\hbar {\sqrt {u(u+1)-k(k+1)}}\cdot E_{z,k\pm 1}} である:p50。 証明 D ^ + u := ( D ^ u ) ∗ ( X 1 ) + i ( D ^ u ) ∗ ( X 2 ) {\displaystyle {\hat {D}}_{+}^{u}:=({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{1})+i({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{2})} D ^ − u := ( D ^ u ) ∗ ( X 1 ) − i ( D ^ u ) ∗ ( X 2 ) {\displaystyle {\hat {D}}_{-}^{u}:=({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{1})-i({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{2})} とする。 z軸回りのオブザーバブルに対する固有状態は e + = ( 1 0 ) {\displaystyle e_{+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} 、 e − = ( 0 1 ) {\displaystyle e^{-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} である。u=1/2のときは、 D ^ + 1 / 2 e + = ℏ 2 ( 0 1 0 0 ) e + = 0 {\displaystyle {\hat {D}}_{+}^{1/2}e_{+}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}e_{+}=0} 、 D ^ + 1 / 2 e − = ℏ 2 ( 0 1 0 0 ) e − = ℏ 2 e + {\displaystyle {\hat {D}}_{+}^{1/2}e_{-}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}e_{-}={\hbar \over 2}e_{+}} 、 D ^ − 1 / 2 e + = ℏ 2 ( 0 0 1 0 ) e + = ℏ 2 e − {\displaystyle {\hat {D}}_{-}^{1/2}e_{+}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}e_{+}={\hbar \over 2}e_{-}} 、 D ^ − 1 / 2 e − = ℏ 2 ( 0 0 1 0 ) e − = 0 {\displaystyle {\hat {D}}_{-}^{1/2}e_{-}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}e_{-}=0} なので、(N1)、(M1)、(P1)、(P2)より、 T ^ + ( E z , k ) = c ( k ) ⋅ S ( ∑ j = 1 2 u ( I ⊗ ⋯ ⊗ D + 1 / 2 ( X n ) ∨ j ⊗ ⋯ ⊗ I ) ( e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⏟ u + k ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ⏟ u − k ) {\displaystyle {\hat {T}}_{+}(E_{z,k})=c(k)\cdot {\mathcal {S}}(\sum _{j=1}^{2u}(I\otimes \cdots \otimes {\overset {\overset {j}{\vee }}{D_{+}^{1/2}(X_{\mathbf {n} })}}\otimes \cdots \otimes I)(\underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k}\otimes \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k})} = c ( k ) ⋅ S ( ( u − k ) ℏ ⋅ e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⏟ u + k + 1 ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ⏟ u − k − 1 ) {\displaystyle =c(k)\cdot {\mathcal {S}}((u-k)\hbar \cdot \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k+1}\otimes \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k-1})} = ( u − k ) ℏ c ( k ) c ( k + 1 ) ⋅ E z , k + 1 {\displaystyle ={(u-k)\hbar c(k) \over c(k+1)}\cdot E_{z,k+1}} = ℏ ( u − k ) ( u + k + 1 ) ⋅ E z , k + 1 {\displaystyle =\hbar {\sqrt {(u-k)(u+k+1)}}\cdot E_{z,k+1}} = ℏ u ( u + 1 ) − k ( k + 1 ) ⋅ E z , k + 1 {\displaystyle =\hbar {\sqrt {u(u+1)-k(k+1)}}\cdot E_{z,k+1}} T ^ − ( E z , k ) {\displaystyle {\hat {T}}_{-}(E_{z,k})} のケースも同様に証明できる。
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