古典論とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/31 04:39 UTC 版)

「振動準位」の記事における「古典論」の解説

二原子分子において2つの原子核の運動をばねによって結ばれた2つの粒子の調和振動子で近似する。2つの原子核が一直線上の位置 x1, x2 にあるとすると、フックの法則からそれぞれの核にはたらく力は m 1 d 2 x 1 d t 2 = − k x {\displaystyle m_{1}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}=-kx} m 2 d 2 x 2 d t 2 = k x {\displaystyle m_{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}=kx} x はばねの変位（l0をばねに伸び縮みが無いときの長さとしたとき x = x2 − x1 − l0）、k はばね定数を表す。マイナス符号は、2つの核に反対向きの力が働くことを示す。 ここで換算質量 μ {\displaystyle \mu } を導入し、2つの核の相対運動を一方を固定した1つの粒子の運動で表す。はじめの式を m1、2つ目の式を m2 で割り、2式を引いて整理すると μ d 2 x d t 2 = − k x {\displaystyle \mu {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx} μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} この運動のポテンシャルエネルギー U の位置についての微分は、粒子に働く力に負を乗じたものであるから、 d U d x = − F = − μ d 2 x d t 2 = k x {\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=-F=-\mu {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=kx} これを積分するとポテンシャルエネルギーが得られる（ただし積分定数が０となるようにポテンシャルエネルギーの基準点をとった）。 U = 1 2 k x 2 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}} これは伸び縮みのない状態を極小とした、二次関数である。分子のなかで核のまわりのポテンシャルは、極小点（平衡核間距離近傍）においては二次関数と近似できるので、調和振動子近似は、分子における核の相対運動を近似できると考えられる。全エネルギー（ハミルトニアン）はこのポテンシャルエネルギーに運動エネルギーを加えたものであるから、次のように書ける。 H = p 2 2 μ + 1 2 k x 2 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2\mu }}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}

※この「古典論」の解説は、「振動準位」の解説の一部です。
「古典論」を含む「振動準位」の記事については、「振動準位」の概要を参照ください。