近似とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 04:53 UTC 版)

「マトロイド」の記事における「近似」の解説

最適化問題は厳密解を求めることが現実的でないことが多いために、近似の限界についても研究されている。次の問題が効率的に解ける(入力のサイズと1/εの多項式時間で解を出力するアルゴリズムが存在する)ことと、誤差が高々(1+ε)倍の解を出力する多項式時間アルゴリズムが存在することは同値である。 独立性システム(E,F)、コスト関数 c : E → Z + {\displaystyle c:E\to \mathbb {Z} _{+}} 、部分集合S,S'⊆E、ε>0が 1 1 + ϵ c ( S ) ≤ c ( S ′ ) ≤ ( 1 + ϵ ) c ( S ) {\displaystyle {\frac {1}{1+\epsilon }}c(S){\leq }c(S'){\leq }(1+\epsilon )c(S)} であるとき、S⊆Bとなる基Bが存在してS'⊆B'となる基B'全てに対して(1+ε)c(B)≧c(B')が成立するか？ つまり、部分的なコスト(c(S)やc(S'))が高々(1+ε)倍違う程度ならば、それらからできうる最適解も(1+ε)倍程度しか違わないだろうか、という問題である。部分が最適ならば全体も最適であるという場合はε=0であり、よく知られているように動的計画法が存在する。よって、(E,F)をマトロイドに限定するならば多項式時間アルゴリズムは存在する。 ナップサック問題はこのアルゴリズムが知られている珍しい例で、計算時間が O ( n 2 ⋅ 1 ϵ ) {\displaystyle O(n^{2}\cdot {\frac {1}{\epsilon }})} や O ( n log ⁡ ( 1 ϵ ) + 1 ϵ 4 ) {\displaystyle O(n\log({\frac {1}{\epsilon }})+{\frac {1}{\epsilon ^{4}}})} で、出力される解の評価が最適解の評価の高々(1+ε)倍であるアルゴリズムがある。

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